Номер 17.45, страница 115, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

17.45 Составьте конечную геометрическую прогрессию из шести членов, зная, что сумма трёх первых членов равна 14, а трёх последних 112.

Пусть дана конечная геометрическая прогрессия $b_1, b_2, b_3, b_4, b_5, b_6$ из шести членов. Первый член прогрессии обозначим как $b_1$, а знаменатель прогрессии как $q$.

По условию задачи, сумма трёх первых членов равна 14. Запишем это в виде уравнения:
$b_1 + b_2 + b_3 = 14$
Выразим члены прогрессии через $b_1$ и $q$:
$b_1 + b_1q + b_1q^2 = 14$
Вынесем $b_1$ за скобки:
$b_1(1 + q + q^2) = 14$ (1)

Также по условию, сумма трёх последних членов равна 112. Запишем второе уравнение:
$b_4 + b_5 + b_6 = 112$
Выразим эти члены прогрессии через $b_1$ и $q$:
$b_1q^3 + b_1q^4 + b_1q^5 = 112$
Вынесем за скобки общий множитель $b_1q^3$:
$b_1q^3(1 + q + q^2) = 112$ (2)

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} b_1(1 + q + q^2) = 14 \\ b_1q^3(1 + q + q^2) = 112 \end{cases}$

Разделим второе уравнение на первое. Это возможно, так как из первого уравнения следует, что $b_1(1 + q + q^2) \neq 0$.
$\frac{b_1q^3(1 + q + q^2)}{b_1(1 + q + q^2)} = \frac{112}{14}$
Сократив общие множители в левой части, получаем:
$q^3 = 8$
Отсюда находим знаменатель $q$:
$q = \sqrt[3]{8} = 2$

Теперь, зная знаменатель $q=2$, подставим его значение в первое уравнение, чтобы найти первый член прогрессии $b_1$:
$b_1(1 + 2 + 2^2) = 14$
$b_1(1 + 2 + 4) = 14$
$b_1 \cdot 7 = 14$
$b_1 = \frac{14}{7}$
$b_1 = 2$

Зная первый член $b_1=2$ и знаменатель $q=2$, мы можем составить искомую геометрическую прогрессию из шести членов, последовательно умножая каждый член на знаменатель:

$b_1 = 2$
$b_2 = 2 \cdot 2 = 4$
$b_3 = 4 \cdot 2 = 8$
$b_4 = 8 \cdot 2 = 16$
$b_5 = 16 \cdot 2 = 32$
$b_6 = 32 \cdot 2 = 64$

Проверим, удовлетворяет ли полученная прогрессия условиям задачи:
Сумма первых трёх членов: $2 + 4 + 8 = 14$. Верно.
Сумма последних трёх членов: $16 + 32 + 64 = 112$. Верно.

Ответ: искомая геометрическая прогрессия: 2, 4, 8, 16, 32, 64.