Номер 17.38, страница 114, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

17.38 Укажите номера всех тех членов заданной геометрической прогрессии, которые меньше заданного числа A:

а) 1, 3, 9, 27, ..., A = 729;

б) 3, 1,5, 0,75, ..., A = $ \frac{3}{32} $;

в) 243, 81, 27, ..., A = $ \frac{1}{81} $;

г) 16, $ 8\sqrt{2} $, 8, ..., A = 1.

а) 1, 3, 9, 27, ..., A = 729

Данная последовательность является геометрической прогрессией $b_n$. Найдем ее параметры: первый член $b_1 = 1$, знаменатель прогрессии $q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{3}{1} = 3$.

Формула n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

В нашем случае: $b_n = 1 \cdot 3^{n-1} = 3^{n-1}$.

Требуется найти все номера членов прогрессии $n$, которые удовлетворяют неравенству $b_n < A$:

$3^{n-1} < 729$

Представим 729 как степень числа 3. Известно, что $729 = 3^6$.

Получаем неравенство: $3^{n-1} < 3^6$.

Поскольку основание степени $3 > 1$, показательная функция является возрастающей. Это значит, что для показателей степени будет выполняться неравенство с тем же знаком:

$n - 1 < 6$

$n < 7$

Так как номер члена прогрессии $n$ - это натуральное число ($n \in \mathbb{N}$), то решением являются все натуральные числа, меньшие 7.

Ответ: 1, 2, 3, 4, 5, 6.

б) 3, 1.5, 0.75, ..., A = $\frac{3}{32}$

Данная последовательность является геометрической прогрессией $b_n$. Найдем ее параметры: первый член $b_1 = 3$, знаменатель прогрессии $q = \frac{1.5}{3} = 0.5 = \frac{1}{2}$.

Формула n-го члена: $b_n = 3 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$.

Решим неравенство $b_n < A$:

$3 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} < \frac{3}{32}$

Разделим обе части неравенства на 3 (знак неравенства не меняется):

$\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} < \frac{1}{32}$

Представим $\frac{1}{32}$ как степень числа $\frac{1}{2}$. Известно, что $32 = 2^5$, значит $\frac{1}{32} = \left(\frac{1}{2}\right)^5$.

Получаем неравенство: $\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} < \left(\frac{1}{2}\right)^5$.

Поскольку основание степени $0 < \frac{1}{2} < 1$, показательная функция является убывающей. Это значит, что для показателей степени знак неравенства изменится на противоположный:

$n - 1 > 5$

$n > 6$

Решением являются все натуральные числа, большие 6.

Ответ: 7, 8, 9, ... (все натуральные числа $n > 6$).

в) 243, 81, 27, ..., A = $\frac{1}{81}$

Данная последовательность является геометрической прогрессией $b_n$. Найдем ее параметры: первый член $b_1 = 243$, знаменатель прогрессии $q = \frac{81}{243} = \frac{1}{3}$.

Формула n-го члена: $b_n = 243 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}$.

Решим неравенство $b_n < A$:

$243 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1} < \frac{1}{81}$

Представим все числа как степени с основанием 3: $243 = 3^5$, $\frac{1}{3} = 3^{-1}$, $\frac{1}{81} = 3^{-4}$.

Неравенство принимает вид:

$3^5 \cdot (3^{-1})^{n-1} < 3^{-4}$

$3^5 \cdot 3^{-n+1} < 3^{-4}$

$3^{5-n+1} < 3^{-4}$

$3^{6-n} < 3^{-4}$

Поскольку основание степени $3 > 1$, для показателей степени будет выполняться неравенство с тем же знаком:

$6 - n < -4$

$10 < n$

Решением являются все натуральные числа, большие 10.

Ответ: 11, 12, 13, ... (все натуральные числа $n > 10$).

г) 16, 8$\sqrt{2}$, 8, ..., A = 1

Данная последовательность является геометрической прогрессией $b_n$. Найдем ее параметры: первый член $b_1 = 16$, знаменатель прогрессии $q = \frac{8\sqrt{2}}{16} = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

Формула n-го члена: $b_n = 16 \cdot \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{n-1}$.

Решим неравенство $b_n < A$:

$16 \cdot \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{n-1} < 1$

Представим все числа как степени с основанием 2: $16 = 2^4$, $\frac{1}{\sqrt{2}} = 2^{-1/2}$, $1 = 2^0$.

Неравенство принимает вид:

$2^4 \cdot (2^{-1/2})^{n-1} < 2^0$

$2^4 \cdot 2^{-\frac{n-1}{2}} < 2^0$

$2^{4 - \frac{n-1}{2}} < 2^0$

Поскольку основание степени $2 > 1$, для показателей степени будет выполняться неравенство с тем же знаком:

$4 - \frac{n-1}{2} < 0$

$4 < \frac{n-1}{2}$

$8 < n - 1$

$9 < n$

Решением являются все натуральные числа, большие 9.

Ответ: 10, 11, 12, ... (все натуральные числа $n > 9$).