Номер 17.31, страница 112, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

17.31 ($b_n$) — геометрическая прогрессия со знаменателем $q$.

а) $b_2 = 4$, $b_4 = 16$. Найдите $q$ и $b_3$ ($b_3 > 0$);

б) $b_5 = 12$, $b_7 = 3$. Найдите $q$ и $b_6$ ($b_6 < 0$);

в) $b_{25} = 7$, $b_{27} = 21$. Найдите $q$ и $b_{26}$ ($b_{26} < 0$);

г) $b_6 = 15$, $b_8 = 5$. Найдите $q$ и $b_7$ ($b_7 > 0$).

а) По свойству геометрической прогрессии, любой ее член является средним геометрическим для членов, равноудаленных от него. В данном случае, $b_3$ является средним геометрическим для $b_2=4$ и $b_4=16$. Это означает, что $b_3^2 = b_2 \cdot b_4$.

Подставим известные значения в формулу:

$b_3^2 = 4 \cdot 16 = 64$

Из этого уравнения получаем два возможных значения для $b_3$: $b_3 = \sqrt{64} = 8$ или $b_3 = -\sqrt{64} = -8$.

Согласно условию задачи, $b_3 > 0$, следовательно, мы выбираем значение $b_3 = 8$.

Теперь найдем знаменатель прогрессии $q$, используя формулу $b_3 = b_2 \cdot q$.

$q = \frac{b_3}{b_2} = \frac{8}{4} = 2$.

Ответ: $q = 2$, $b_3 = 8$.

б) Аналогично предыдущему пункту, член $b_6$ является средним геометрическим для $b_5=12$ и $b_7=3$. Таким образом, $b_6^2 = b_5 \cdot b_7$.

Подставим известные значения:

$b_6^2 = 12 \cdot 3 = 36$

Отсюда $b_6 = \sqrt{36} = 6$ или $b_6 = -\sqrt{36} = -6$.

По условию $b_6 < 0$, поэтому правильным является значение $b_6 = -6$.

Найдем знаменатель прогрессии $q$ из отношения $b_6 = b_5 \cdot q$:

$q = \frac{b_6}{b_5} = \frac{-6}{12} = -\frac{1}{2}$.

Ответ: $q = -\frac{1}{2}$, $b_6 = -6$.

в) В этом случае член $b_{26}$ является средним геометрическим для $b_{25}=7$ и $b_{27}=21$. Следовательно, $b_{26}^2 = b_{25} \cdot b_{27}$.

Подставляем значения:

$b_{26}^2 = 7 \cdot 21 = 147$

Отсюда $b_{26} = \pm\sqrt{147}$. Упростим корень: $\sqrt{147} = \sqrt{49 \cdot 3} = 7\sqrt{3}$. Таким образом, $b_{26} = 7\sqrt{3}$ или $b_{26} = -7\sqrt{3}$.

По условию $b_{26} < 0$, мы выбираем значение $b_{26} = -7\sqrt{3}$.

Знаменатель прогрессии $q$ найдем из формулы $b_{26} = b_{25} \cdot q$:

$q = \frac{b_{26}}{b_{25}} = \frac{-7\sqrt{3}}{7} = -\sqrt{3}$.

Ответ: $q = -\sqrt{3}$, $b_{26} = -7\sqrt{3}$.

г) Здесь член $b_7$ является средним геометрическим для $b_6=15$ и $b_8=5$. Значит, $b_7^2 = b_6 \cdot b_8$.

Подставляем значения:

$b_7^2 = 15 \cdot 5 = 75$

Отсюда $b_7 = \pm\sqrt{75}$. Упростим корень: $\sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3}$. Таким образом, $b_7 = 5\sqrt{3}$ или $b_7 = -5\sqrt{3}$.

По условию $b_7 > 0$, поэтому мы выбираем значение $b_7 = 5\sqrt{3}$.

Знаменатель прогрессии $q$ находим из отношения $b_7 = b_6 \cdot q$:

$q = \frac{b_7}{b_6} = \frac{5\sqrt{3}}{15} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $q = \frac{\sqrt{3}}{3}$, $b_7 = 5\sqrt{3}$.