Номер 17.28, страница 112, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

17.28 Найдите сумму первых пяти членов геометрической прогрессии:

а) $3, 6, 12, ...;$

б) $-1, 2, -4, ...;$

в) $-3, -\frac{3}{2}, -\frac{3}{4}, ...;$

г) $\sqrt{2}, 3\sqrt{2}, 9\sqrt{2}, ....$

Для нахождения суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии $(b_n)$ используется формула: $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$, где $b_1$ — первый член прогрессии, $q$ — знаменатель прогрессии, а $n$ — количество членов. В данной задаче для всех случаев необходимо найти сумму первых пяти членов, то есть $n=5$.

а) Дана прогрессия: 3, 6, 12, ...

Первый член прогрессии $b_1 = 3$.

Найдем знаменатель прогрессии $q$, разделив второй член на первый: $q = \frac{6}{3} = 2$.

Теперь вычислим сумму первых пяти членов, подставив значения в формулу:

$S_5 = \frac{3(2^5 - 1)}{2 - 1} = \frac{3(32 - 1)}{1} = 3 \cdot 31 = 93$.

Ответ: 93

б) Дана прогрессия: -1, 2, -4, ...

Первый член прогрессии $b_1 = -1$.

Знаменатель прогрессии: $q = \frac{2}{-1} = -2$.

Сумма первых пяти членов:

$S_5 = \frac{-1((-2)^5 - 1)}{-2 - 1} = \frac{-1(-32 - 1)}{-3} = \frac{-1(-33)}{-3} = \frac{33}{-3} = -11$.

Ответ: -11

в) Дана прогрессия: -3, $-\frac{3}{2}$, $-\frac{3}{4}$, ...

Первый член прогрессии $b_1 = -3$.

Знаменатель прогрессии: $q = \frac{-\frac{3}{2}}{-3} = \frac{1}{2}$.

Сумма первых пяти членов:

$S_5 = \frac{-3((\frac{1}{2})^5 - 1)}{\frac{1}{2} - 1} = \frac{-3(\frac{1}{32} - 1)}{-\frac{1}{2}} = \frac{-3(\frac{1-32}{32})}{-\frac{1}{2}} = \frac{-3(-\frac{31}{32})}{-\frac{1}{2}} = \frac{\frac{93}{32}}{-\frac{1}{2}} = -\frac{93}{32} \cdot \frac{2}{1} = -\frac{93}{16}$.

Ответ: $-\frac{93}{16}$

г) Дана прогрессия: $\sqrt{2}$, $3\sqrt{2}$, $9\sqrt{2}$, ...

Первый член прогрессии $b_1 = \sqrt{2}$.

Знаменатель прогрессии: $q = \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 3$.

Сумма первых пяти членов:

$S_5 = \frac{\sqrt{2}(3^5 - 1)}{3 - 1} = \frac{\sqrt{2}(243 - 1)}{2} = \frac{\sqrt{2} \cdot 242}{2} = 121\sqrt{2}$.

Ответ: $121\sqrt{2}$