Номер 17.21, страница 110, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

17.21 Дана конечная геометрическая прогрессия ($b_n$). Найдите $n$, если:

а) $b_1 = \frac{1}{3}, q = \frac{1}{3}, b_n = \frac{1}{729};$

б) $b_1 = 256, q = \frac{1}{2}, b_n = 2;$

в) $b_1 = 2,5, q = \frac{1}{5}, b_n = 4 \cdot 10^{-3};$

г) $b_1 = \frac{1}{343}, q = -7, b_n = -2401.$

Для решения всех пунктов задачи воспользуемся формулой n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $b_1$ — первый член прогрессии, $q$ — знаменатель прогрессии, а $n$ — номер члена прогрессии. Нам нужно найти $n$.

а)

Дано: $b_1 = \frac{1}{3}$, $q = \frac{1}{3}$, $b_n = \frac{1}{729}$.
Подставим эти значения в формулу: $ \frac{1}{729} = \frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{3})^{n-1} $
Можно заметить, что $b_n = b_1 \cdot q \cdot q^{n-2} = b_1 \cdot q^{n-1}$. В данном случае $b_1 = q$, поэтому формулу можно записать как $b_n = q \cdot q^{n-1} = q^n$. $ \frac{1}{729} = (\frac{1}{3})^n $
Теперь нам нужно найти, в какую степень нужно возвести 3, чтобы получить 729. $3^1 = 3, 3^2 = 9, 3^3 = 27, 3^4 = 81, 3^5 = 243, 3^6 = 729$.
Таким образом, $ \frac{1}{729} = \frac{1}{3^6} = (\frac{1}{3})^6 $.
Получаем уравнение: $ (\frac{1}{3})^6 = (\frac{1}{3})^n $
Отсюда следует, что $n=6$.

Ответ: $6$.

б)

Дано: $b_1 = 256$, $q = \frac{1}{2}$, $b_n = 2$.
Подставим значения в формулу $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$: $ 2 = 256 \cdot (\frac{1}{2})^{n-1} $
Разделим обе части уравнения на 256: $ \frac{2}{256} = (\frac{1}{2})^{n-1} $
$ \frac{1}{128} = (\frac{1}{2})^{n-1} $
Нам известно, что $128 = 2^7$, поэтому $ \frac{1}{128} = (\frac{1}{2})^7 $.
Получаем уравнение: $ (\frac{1}{2})^7 = (\frac{1}{2})^{n-1} $
Приравниваем показатели степеней: $ 7 = n - 1 $
$ n = 7 + 1 = 8 $.

Ответ: $8$.

в)

Дано: $b_1 = 2,5$, $q = \frac{1}{5}$, $b_n = 4 \cdot 10^{-3}$.
Преобразуем $b_1$ и $b_n$ для удобства вычислений: $ b_1 = 2,5 = \frac{5}{2} $
$ b_n = 4 \cdot 10^{-3} = 4 \cdot \frac{1}{1000} = \frac{4}{1000} = \frac{1}{250} $
Подставляем в формулу $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$: $ \frac{1}{250} = \frac{5}{2} \cdot (\frac{1}{5})^{n-1} $
Выразим $(\frac{1}{5})^{n-1}$: $ (\frac{1}{5})^{n-1} = \frac{1}{250} \div \frac{5}{2} = \frac{1}{250} \cdot \frac{2}{5} = \frac{2}{1250} = \frac{1}{625} $
Теперь представим $\frac{1}{625}$ как степень $\frac{1}{5}$. Мы знаем, что $625 = 5^4$.
Значит, $ \frac{1}{625} = (\frac{1}{5})^4 $.
Получаем уравнение: $ (\frac{1}{5})^4 = (\frac{1}{5})^{n-1} $
Приравниваем показатели степеней: $ 4 = n - 1 $
$ n = 4 + 1 = 5 $.

Ответ: $5$.

г)

Дано: $b_1 = \frac{1}{343}$, $q = -7$, $b_n = -2401$.
Подставляем в формулу $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$: $ -2401 = \frac{1}{343} \cdot (-7)^{n-1} $
Умножим обе части уравнения на 343: $ -2401 \cdot 343 = (-7)^{n-1} $
Представим числа 343 и 2401 как степени числа 7. $7^3 = 343$
$7^4 = 2401$
Подставим эти значения в уравнение: $ -(7^4) \cdot 7^3 = (-7)^{n-1} $
$ -7^{4+3} = (-7)^{n-1} $
$ -7^7 = (-7)^{n-1} $
Поскольку $-a^k = (-a)^k$ для любого нечетного $k$, мы можем переписать левую часть как $(-7)^7$. $ (-7)^7 = (-7)^{n-1} $
Приравниваем показатели степеней: $ 7 = n - 1 $
$ n = 7 + 1 = 8 $.

Ответ: $8$.