Номер 17.16, страница 109, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

17.16 а) Между числами 18 и 2 вставьте положительное число так, чтобы получились три последовательных члена геометрической прогрессии.

б) Между числами 16 и 64 вставьте отрицательное число так, чтобы получились три последовательных члена геометрической прогрессии.

а)

Пусть искомое число равно $x$. Тогда числа $18$, $x$ и $2$ образуют три последовательных члена геометрической прогрессии. Обозначим их как $b_1, b_2, b_3$:

$b_1 = 18$, $b_2 = x$, $b_3 = 2$.

По характеристическому свойству геометрической прогрессии, любой её член, начиная со второго, является средним геометрическим своих соседних членов. Это означает, что квадрат среднего члена равен произведению его соседей:

$b_2^2 = b_1 \cdot b_3$

Подставим в эту формулу известные значения:

$x^2 = 18 \cdot 2$

$x^2 = 36$

Решая это уравнение, получаем два возможных значения для $x$:

$x = \sqrt{36} = 6$ или $x = -\sqrt{36} = -6$.

Согласно условию задачи, вставляемое число должно быть положительным. Поэтому мы выбираем значение $x = 6$.

Проверим полученную последовательность: $18, 6, 2$. Знаменатель прогрессии $q = \frac{6}{18} = \frac{1}{3}$. Третий член равен $b_2 \cdot q = 6 \cdot \frac{1}{3} = 2$, что соответствует условию.

Ответ: 6

б)

Пусть искомое число равно $y$. Тогда числа $16$, $y$ и $64$ образуют три последовательных члена геометрической прогрессии. Обозначим их как $c_1, c_2, c_3$:

$c_1 = 16$, $c_2 = y$, $c_3 = 64$.

Воспользуемся тем же свойством геометрической прогрессии:

$c_2^2 = c_1 \cdot c_3$

Подставим известные значения:

$y^2 = 16 \cdot 64$

$y^2 = 1024$

Решая уравнение, находим два возможных значения для $y$:

$y = \sqrt{1024} = 32$ или $y = -\sqrt{1024} = -32$.

Согласно условию задачи, вставляемое число должно быть отрицательным. Следовательно, мы выбираем значение $y = -32$.

Проверим полученную последовательность: $16, -32, 64$. Знаменатель прогрессии $q = \frac{-32}{16} = -2$. Третий член равен $c_2 \cdot q = (-32) \cdot (-2) = 64$, что соответствует условию.

Ответ: -32