Номер 17.12, страница 109, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

17.12 Найдите $b_1$ и $q$ для геометрической прогрессии $(b_n)$, заданной следующими условиями:

а) $b_2 = 8, b_3 = -32;$

б) $b_4 = 1, b_5 = -\frac{1}{2};$

в) $b_2 = \frac{3}{2}, b_3 = \frac{3}{4};$

г) $b_5 = 6, b_6 = 3.$

а)

Знаменатель геометрической прогрессии $q$ можно найти как отношение последующего члена к предыдущему. Используем данные $b_2 = 8$ и $b_3 = -32$.

$q = \frac{b_3}{b_2} = \frac{-32}{8} = -4$.

Первый член прогрессии $b_1$ найдем из формулы $b_2 = b_1 \cdot q$.

$b_1 = \frac{b_2}{q} = \frac{8}{-4} = -2$.

Ответ: $b_1 = -2$, $q = -4$.

б)

Используя $b_4 = 1$ и $b_5 = -\frac{1}{2}$, найдем знаменатель прогрессии $q$.

$q = \frac{b_5}{b_4} = \frac{-1/2}{1} = -\frac{1}{2}$.

Теперь найдем $b_1$, используя формулу n-го члена прогрессии $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$ для $n=4$.

$b_4 = b_1 \cdot q^{4-1} = b_1 \cdot q^3$.

Отсюда, $b_1 = \frac{b_4}{q^3} = \frac{1}{(-1/2)^3} = \frac{1}{-1/8} = -8$.

Ответ: $b_1 = -8$, $q = -\frac{1}{2}$.

в)

Используя $b_2 = \frac{3}{2}$ и $b_3 = \frac{3}{4}$, найдем знаменатель прогрессии $q$.

$q = \frac{b_3}{b_2} = \frac{3/4}{3/2} = \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{3} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$.

Первый член прогрессии $b_1$ найдем из формулы $b_2 = b_1 \cdot q$.

$b_1 = \frac{b_2}{q} = \frac{3/2}{1/2} = \frac{3}{2} \cdot 2 = 3$.

Ответ: $b_1 = 3$, $q = \frac{1}{2}$.

г)

Используя $b_5 = 6$ и $b_6 = 3$, найдем знаменатель прогрессии $q$.

$q = \frac{b_6}{b_5} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.

Теперь найдем $b_1$, используя формулу n-го члена прогрессии $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$ для $n=5$.

$b_5 = b_1 \cdot q^{5-1} = b_1 \cdot q^4$.

Отсюда, $b_1 = \frac{b_5}{q^4} = \frac{6}{(1/2)^4} = \frac{6}{1/16} = 6 \cdot 16 = 96$.

Ответ: $b_1 = 96$, $q = \frac{1}{2}$.