Номер 17.10, страница 108, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

17.10 Последовательность ($b_n$) — геометрическая прогрессия. Найдите:

a) $b_4$, если $b_1 = 128, q = -\frac{1}{2}$;

б) $b_5$, если $b_1 = 270, q = \frac{1}{3}$;

в) $b_8$, если $b_1 = \frac{1}{5}, q = \sqrt{5}$;

г) $b_6$, если $b_1 = 625, q = -\frac{1}{5}$.

Для решения задачи используется формула n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $b_1$ — первый член прогрессии, $q$ — знаменатель прогрессии, а $n$ — порядковый номер искомого члена.

а) Найдём $b_4$, если известно, что $b_1 = 128$ и $q = -\frac{1}{2}$.

Подставим данные значения в формулу при $n=4$:

$b_4 = b_1 \cdot q^{4-1} = b_1 \cdot q^3$

Выполним вычисление:

$b_4 = 128 \cdot (-\frac{1}{2})^3 = 128 \cdot (-\frac{1^3}{2^3}) = 128 \cdot (-\frac{1}{8})$

$b_4 = -\frac{128}{8} = -16$

Ответ: $b_4 = -16$.

б) Найдём $b_5$, если известно, что $b_1 = 270$ и $q = \frac{1}{3}$.

Подставим данные значения в формулу при $n=5$:

$b_5 = b_1 \cdot q^{5-1} = b_1 \cdot q^4$

Выполним вычисление:

$b_5 = 270 \cdot (\frac{1}{3})^4 = 270 \cdot \frac{1^4}{3^4} = 270 \cdot \frac{1}{81}$

$b_5 = \frac{270}{81}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 27:

$b_5 = \frac{270 \div 27}{81 \div 27} = \frac{10}{3}$

Ответ: $b_5 = \frac{10}{3}$.

в) Найдём $b_8$, если известно, что $b_1 = \frac{1}{5}$ и $q = \sqrt{5}$.

Подставим данные значения в формулу при $n=8$:

$b_8 = b_1 \cdot q^{8-1} = b_1 \cdot q^7$

Выполним вычисление. Сначала упростим степень знаменателя:

$(\sqrt{5})^7 = (\sqrt{5})^6 \cdot \sqrt{5} = ((\sqrt{5})^2)^3 \cdot \sqrt{5} = 5^3 \cdot \sqrt{5} = 125\sqrt{5}$

Теперь найдём $b_8$:

$b_8 = \frac{1}{5} \cdot 125\sqrt{5} = \frac{125\sqrt{5}}{5} = 25\sqrt{5}$

Ответ: $b_8 = 25\sqrt{5}$.

г) Найдём $b_6$, если известно, что $b_1 = 625$ и $q = -\frac{1}{5}$.

Подставим данные значения в формулу при $n=6$:

$b_6 = b_1 \cdot q^{6-1} = b_1 \cdot q^5$

Выполним вычисление. Так как степень нечётная, знак минус сохраняется:

$b_6 = 625 \cdot (-\frac{1}{5})^5 = - (625 \cdot \frac{1^5}{5^5}) = - (625 \cdot \frac{1}{3125})$

Представим 625 как $5^4$ и 3125 как $5^5$ для упрощения:

$b_6 = - \frac{5^4}{5^5} = -5^{4-5} = -5^{-1} = -\frac{1}{5}$

Ответ: $b_6 = -\frac{1}{5}$.