Номер 17.5, страница 108, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

17.5 a) $x_n = \frac{3}{2^n}$;

б) $x_n = 4n + 3$;

в) $x_n = \frac{2}{5} \cdot 3^n$;

г) $x_n = 125 \cdot 5^{-n}$.

Какие из приведённых геометрических прогрессий являются возрастающими, какие — убывающими?

Чтобы определить, является ли геометрическая прогрессия возрастающей или убывающей, нужно найти её первый член $x_1$ и знаменатель $q$.
Геометрическая прогрессия с положительным первым членом ($x_1 > 0$) является:
- возрастающей, если её знаменатель $q > 1$;
- убывающей, если $0 < q < 1$.
Если последовательность не является геометрической, она не рассматривается.

а) $x_n = \frac{3}{2^n}$

Проверим, является ли данная последовательность геометрической прогрессией. Для этого найдём отношение $(n+1)$-го члена к $n$-му члену:

$q = \frac{x_{n+1}}{x_n} = \frac{3/2^{n+1}}{3/2^n} = \frac{3}{2^{n+1}} \cdot \frac{2^n}{3} = \frac{2^n}{2^n \cdot 2} = \frac{1}{2}$

Поскольку отношение $q = \frac{1}{2}$ является константой, последовательность является геометрической прогрессией со знаменателем $q = \frac{1}{2}$.

Найдём первый член прогрессии: $x_1 = \frac{3}{2^1} = \frac{3}{2}$.

Так как $x_1 = \frac{3}{2} > 0$ и $0 < q = \frac{1}{2} < 1$, данная геометрическая прогрессия является убывающей.

Ответ: убывающая геометрическая прогрессия.

б) $x_n = 4n + 3$

Проверим, является ли данная последовательность геометрической прогрессией:

$\frac{x_{n+1}}{x_n} = \frac{4(n+1)+3}{4n+3} = \frac{4n+7}{4n+3}$

Отношение зависит от $n$ и не является постоянной величиной. Следовательно, эта последовательность не является геометрической прогрессией. (Это возрастающая арифметическая прогрессия с разностью $d=4$).

Ответ: не является геометрической прогрессией.

в) $x_n = \frac{2}{5} \cdot 3^n$

Проверим, является ли данная последовательность геометрической прогрессией:

$q = \frac{x_{n+1}}{x_n} = \frac{\frac{2}{5} \cdot 3^{n+1}}{\frac{2}{5} \cdot 3^n} = \frac{3^{n+1}}{3^n} = 3$

Поскольку отношение $q=3$ является константой, последовательность является геометрической прогрессией со знаменателем $q=3$.

Найдём первый член прогрессии: $x_1 = \frac{2}{5} \cdot 3^1 = \frac{6}{5}$.

Так как $x_1 = \frac{6}{5} > 0$ и $q = 3 > 1$, данная геометрическая прогрессия является возрастающей.

Ответ: возрастающая геометрическая прогрессия.

г) $x_n = 125 \cdot 5^{-n}$

Проверим, является ли данная последовательность геометрической прогрессией. Запишем формулу в виде $x_n = 125 \cdot (\frac{1}{5})^n$.

$q = \frac{x_{n+1}}{x_n} = \frac{125 \cdot 5^{-(n+1)}}{125 \cdot 5^{-n}} = \frac{5^{-n-1}}{5^{-n}} = 5^{-n-1 - (-n)} = 5^{-1} = \frac{1}{5}$

Поскольку отношение $q = \frac{1}{5}$ является константой, последовательность является геометрической прогрессией со знаменателем $q = \frac{1}{5}$.

Найдём первый член прогрессии: $x_1 = 125 \cdot 5^{-1} = \frac{125}{5} = 25$.

Так как $x_1 = 25 > 0$ и $0 < q = \frac{1}{5} < 1$, данная геометрическая прогрессия является убывающей.

Ответ: убывающая геометрическая прогрессия.