Номер 16.69, страница 107, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

16.69 Докажите, что если числа $\frac{1}{a}$, $\frac{1}{b}$, $\frac{1}{c}$ в заданном порядке образуют конечную арифметическую прогрессию, то верно равенство:

a) $ab + bc + ac = 3ac$;

б) $\frac{b}{c} + \frac{b}{a} = 2$.

Поскольку по условию задачи числа $ \frac{1}{a} $, $ \frac{1}{b} $ и $ \frac{1}{c} $ в указанном порядке образуют конечную арифметическую прогрессию, для них справедливо характеристическое свойство арифметической прогрессии: средний член равен среднему арифметическому соседних членов.

Запишем это свойство в виде формулы:

$ \frac{1}{b} = \frac{\frac{1}{a} + \frac{1}{c}}{2} $

Умножим обе части этого равенства на 2, чтобы избавиться от знаменателя в правой части:

$ \frac{2}{b} = \frac{1}{a} + \frac{1}{c} $

Это ключевое соотношение, которое следует из условия задачи. Мы будем использовать его для доказательства обоих пунктов.

а) Требуется доказать равенство $ ab + bc + ac = 3ac $.

Возьмем ключевое соотношение $ \frac{2}{b} = \frac{1}{a} + \frac{1}{c} $ и приведем дроби в правой части к общему знаменателю $ ac $:

$ \frac{2}{b} = \frac{c+a}{ac} $

Теперь, используя основное свойство пропорции (перекрестное умножение), получаем:

$ 2ac = b(a+c) $

Раскроем скобки в правой части:

$ 2ac = ab + bc $

Мы получили выражение для суммы $ ab + bc $. Теперь подставим его в левую часть равенства, которое нам нужно доказать ($ ab + bc + ac $):

$ (ab + bc) + ac = (2ac) + ac = 3ac $

Таким образом, мы показали, что левая часть исходного равенства $ ab + bc + ac $ действительно равна $ 3ac $. Равенство доказано.

Ответ: что и требовалось доказать.

б) Требуется доказать равенство $ \frac{b}{c} + \frac{b}{a} = 2 $.

Рассмотрим левую часть этого равенства: $ \frac{b}{c} + \frac{b}{a} $. Вынесем общий множитель $ b $ за скобки:

$ \frac{b}{c} + \frac{b}{a} = b \left(\frac{1}{c} + \frac{1}{a}\right) $

Из ключевого соотношения, полученного из свойства арифметической прогрессии, мы знаем, что $ \frac{1}{a} + \frac{1}{c} = \frac{2}{b} $. Выполним подстановку этого выражения в преобразованную левую часть:

$ b \left(\frac{1}{c} + \frac{1}{a}\right) = b \cdot \left(\frac{2}{b}\right) $

Сократим $ b $ в числителе и знаменателе:

$ b \cdot \frac{2}{b} = 2 $

Таким образом, левая часть доказываемого равенства равна 2, что в точности соответствует его правой части. Равенство доказано.

Ответ: что и требовалось доказать.