Номер 16.62, страница 106, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

16.62 Числа $-100$ и $-78$ являются соответственно седьмым и девятым членами арифметической прогрессии. Найдите пятнадцатый член этой прогрессии и сумму её первых двадцати членов.

Пусть дана арифметическая прогрессия $(a_n)$. По условию, её седьмой член $a_7 = -100$, а девятый член $a_9 = -78$.

Для решения задачи сначала найдём разность прогрессии $d$ и её первый член $a_1$.
Формула для n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Разность между любыми двумя членами прогрессии $a_m$ и $a_k$ можно выразить как $a_m - a_k = (m-k)d$. Используем эту зависимость для $a_9$ и $a_7$:
$a_9 = a_7 + (9-7)d$
Подставим известные значения:
$-78 = -100 + 2d$
$2d = 100 - 78$
$2d = 22$
$d = 11$

Теперь, зная разность $d=11$, найдём первый член $a_1$, используя формулу для седьмого члена $a_7$:
$a_7 = a_1 + (7-1)d$
$-100 = a_1 + 6 \cdot 11$
$-100 = a_1 + 66$
$a_1 = -100 - 66$
$a_1 = -166$

Пятнадцатый член этой прогрессии
Теперь, когда мы знаем первый член $a_1 = -166$ и разность $d=11$, мы можем найти пятнадцатый член прогрессии $a_{15}$ по формуле n-го члена:
$a_{15} = a_1 + (15-1)d$
$a_{15} = -166 + 14 \cdot 11$
$a_{15} = -166 + 154$
$a_{15} = -12$

Ответ: -12.

Сумма её первых двадцати членов
Сумма первых $n$ членов арифметической прогрессии $S_n$ вычисляется по формуле:
$S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$
Найдём сумму первых двадцати членов $S_{20}$, подставив $n=20$, $a_1 = -166$ и $d=11$:
$S_{20} = \frac{2 \cdot (-166) + (20-1) \cdot 11}{2} \cdot 20$
$S_{20} = (2 \cdot (-166) + 19 \cdot 11) \cdot 10$
$S_{20} = (-332 + 209) \cdot 10$
$S_{20} = -123 \cdot 10$
$S_{20} = -1230$

Ответ: -1230.