Номер 16.61, страница 106, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

16.61 Сумма цифр четырёхзначного числа равна 16. Найдите это число, если известно, что его цифры образуют арифметическую прогрессию и цифра единиц на 4 больше цифры сотен.

Обозначим цифры искомого четырёхзначного числа как $a_1, a_2, a_3, a_4$ в порядке их следования (цифра тысяч, сотен, десятков и единиц соответственно).

Согласно условиям задачи, мы имеем следующую информацию:

1. Сумма цифр равна 16:
$a_1 + a_2 + a_3 + a_4 = 16$

2. Цифры образуют арифметическую прогрессию. Обозначим первый член этой прогрессии как $a$ (то есть $a_1 = a$), а её разность как $d$. Тогда все цифры можно выразить через $a$ и $d$:
$a_1 = a$
$a_2 = a + d$
$a_3 = a + 2d$
$a_4 = a + 3d$

3. Цифра единиц ($a_4$) на 4 больше цифры сотен ($a_2$):
$a_4 = a_2 + 4$

Теперь последовательно используем эти условия для нахождения числа. Подставим выражения для $a_2$ и $a_4$ из пункта 2 в уравнение из пункта 3:
$(a + 3d) = (a + d) + 4$

Решим это уравнение, чтобы найти разность прогрессии $d$:
$a + 3d = a + d + 4$
$3d - d = 4$
$2d = 4$
$d = 2$

Мы выяснили, что разность прогрессии равна 2. Теперь мы можем выразить все цифры через первый член $a$:
$a_1 = a$
$a_2 = a + 2$
$a_3 = a + 4$
$a_4 = a + 6$

Теперь подставим эти выражения в первое условие — о сумме цифр:
$a + (a + 2) + (a + 4) + (a + 6) = 16$

Решим полученное уравнение относительно $a$:
$4a + 12 = 16$
$4a = 16 - 12$
$4a = 4$
$a = 1$

Итак, первый член прогрессии (и первая цифра числа) равен 1. Теперь найдем остальные цифры:
$a_1 = 1$
$a_2 = 1 + 2 = 3$
$a_3 = 1 + 4 = 5$
$a_4 = 1 + 6 = 7$

Цифры искомого числа — 1, 3, 5, 7. Все они являются однозначными, и первая цифра не ноль, что необходимо для четырёхзначного числа. Таким образом, искомое число — 1357.

Проверим результат:
1. Сумма цифр: $1 + 3 + 5 + 7 = 16$. Условие выполнено.
2. Цифры 1, 3, 5, 7 образуют арифметическую прогрессию с разностью $d=2$. Условие выполнено.
3. Цифра единиц (7) на 4 больше цифры сотен (3): $7 = 3 + 4$. Условие выполнено.

Ответ: 1357.