Номер 16.63, страница 106, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

16.63 В соревновании по стрельбе за каждый промах в серии из 25 выстрелов стрелок получал штрафные очки: за первый промах — одно штрафное очко, за каждый последующий — на 0,5 очка больше, чем за предыдущий. Сколько раз попал в цель стрелок, получивший 7 штрафных очков?

Пусть $n$ — это количество промахов, которые совершил стрелок. Штрафные очки за каждый промах образуют арифметическую прогрессию.За первый промах ($a_1$) стрелок получает 1 штрафное очко. За каждый последующий промах начисляется на 0,5 очка больше, чем за предыдущий. Это означает, что разность арифметической прогрессии ($d$) равна 0,5.

Сумма всех штрафных очков ($S_n$) по условию равна 7. Таким образом, мы имеем дело с арифметической прогрессией, у которой известны следующие параметры:

Первый член $a_1 = 1$;
Разность $d = 0.5$;
Сумма первых $n$ членов $S_n = 7$.

Воспользуемся формулой для суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии:$S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$

Подставим известные значения в формулу, чтобы найти количество промахов $n$:$7 = \frac{2 \cdot 1 + 0.5(n-1)}{2} \cdot n$

Решим это уравнение. Сначала умножим обе части на 2:$14 = (2 + 0.5(n-1)) \cdot n$$14 = (2 + 0.5n - 0.5) \cdot n$$14 = (1.5 + 0.5n) \cdot n$$14 = 1.5n + 0.5n^2$

Чтобы избавиться от десятичных дробей, умножим все уравнение еще раз на 2:$28 = 3n + n^2$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:$n^2 + 3n - 28 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения, например, с помощью дискриминанта:$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-28) = 9 + 112 = 121$

$n_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + \sqrt{121}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 + 11}{2} = \frac{8}{2} = 4$

$n_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - \sqrt{121}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 - 11}{2} = \frac{-14}{2} = -7$

Поскольку количество промахов ($n$) не может быть отрицательным числом, то единственное подходящее решение — это $n = 4$. Таким образом, стрелок совершил 4 промаха.

В условии сказано, что серия состоит из 25 выстрелов. Чтобы найти, сколько раз стрелок попал в цель, нужно из общего количества выстрелов вычесть количество промахов:$25 - 4 = 21$

Ответ: 21.