Номер 16.59, страница 105, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

16.59 a) Найдите сумму всех трёхзначных чисел, которые делятся на 7 и не делятся на 13.

б) Найдите сумму всех трёхзначных чисел, которые не делятся ни на 7, ни на 13.

а) Чтобы найти сумму всех трёхзначных чисел, которые делятся на 7, но не делятся на 13, необходимо найти сумму всех трёхзначных чисел, кратных 7, и вычесть из неё сумму всех трёхзначных чисел, которые кратны и 7, и 13. Числа, кратные одновременно 7 и 13, делятся на их наименьшее общее кратное, которое равно $7 \times 13 = 91$.

1. Найдём сумму $S_7$ всех трёхзначных чисел, делящихся на 7. Эти числа образуют арифметическую прогрессию. Первое такое число $a_1 = 105$ ($15 \times 7$), а последнее $a_n = 994$ ($142 \times 7$). Количество таких чисел $n = 142 - 15 + 1 = 128$. Сумма этой прогрессии вычисляется по формуле $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.
$S_7 = \frac{105 + 994}{2} \cdot 128 = 1099 \cdot 64 = 70336$.

2. Найдём сумму $S_{91}$ всех трёхзначных чисел, делящихся на 91. Это также арифметическая прогрессия. Первое такое число $b_1 = 182$ ($2 \times 91$), а последнее $b_m = 910$ ($10 \times 91$). Количество таких чисел $m = 10 - 2 + 1 = 9$. Сумма этой прогрессии:
$S_{91} = \frac{182 + 910}{2} \cdot 9 = 546 \cdot 9 = 4914$.

3. Искомая сумма равна разности $S_7 - S_{91}$.
$70336 - 4914 = 65422$.
Ответ: 65422

б) Чтобы найти сумму всех трёхзначных чисел, которые не делятся ни на 7, ни на 13, нужно из общей суммы всех трёхзначных чисел ($S_{общ}$) вычесть сумму тех чисел, которые делятся хотя бы на одно из этих чисел (на 7 или на 13). Сумма чисел, делящихся на 7 или на 13, находится по формуле включений-исключений: $S_{7 \cup 13} = S_7 + S_{13} - S_{7 \cap 13}$, где $S_{7 \cap 13} = S_{91}$.

1. Найдём общую сумму $S_{общ}$ всех трёхзначных чисел (от 100 до 999). Они образуют арифметическую прогрессию, в которой $999 - 100 + 1 = 900$ членов.
$S_{общ} = \frac{100 + 999}{2} \cdot 900 = 1099 \cdot 450 = 494550$.

2. Найдём сумму $S_{13}$ всех трёхзначных чисел, делящихся на 13. Это арифметическая прогрессия. Первое число $c_1 = 104$ ($8 \times 13$), последнее $c_k = 988$ ($76 \times 13$). Количество членов $k = 76 - 8 + 1 = 69$. Сумма этой прогрессии:
$S_{13} = \frac{104 + 988}{2} \cdot 69 = 546 \cdot 69 = 37674$.

3. Суммы $S_7 = 70336$ и $S_{91} = 4914$ уже были найдены в пункте а). Теперь можем найти сумму всех чисел, делящихся на 7 или на 13:
$S_{7 \cup 13} = S_7 + S_{13} - S_{91} = 70336 + 37674 - 4914 = 108010 - 4914 = 103096$.

4. Искомая сумма равна разности $S_{общ} - S_{7 \cup 13}$.
$494550 - 103096 = 391454$.
Ответ: 391454