Номер 16.60, страница 105, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

16.60 При делении девятого члена арифметической прогрессии, состоящей из целых чисел, на второй член в частном получается 5 ($a_9 = 5a_2$), а при делении тринадцатого члена на шестой член в частном получается 2, а в остатке 5 ($a_{13} = 2a_6 + 5$). Найдите первый член и разность прогрессии.

Пусть $a_1$ — первый член арифметической прогрессии, а $d$ — её разность. По условию, прогрессия состоит из целых чисел, следовательно, $a_1$ и $d$ являются целыми числами.

Формула n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Согласно условиям задачи, составим систему уравнений.
Первое условие: при делении девятого члена ($a_9 = a_1 + 8d$) на второй член ($a_2 = a_1 + d$) в частном получается 5. Это означает деление без остатка:
$a_9 = 5 \cdot a_2$
$a_1 + 8d = 5(a_1 + d)$

Второе условие: при делении тринадцатого члена ($a_{13} = a_1 + 12d$) на шестой член ($a_6 = a_1 + 5d$) в частном получается 2, а в остатке 5. Это записывается в виде уравнения:
$a_{13} = 2 \cdot a_6 + 5$
Также из этого условия следует, что остаток должен быть меньше модуля делителя, то есть $5 < |a_6|$.
Подставив выражения для членов прогрессии, получаем:
$a_1 + 12d = 2(a_1 + 5d) + 5$

Таким образом, мы имеем систему из двух уравнений с двумя неизвестными:
$\begin{cases}a_1 + 8d = 5(a_1 + d) \\a_1 + 12d = 2(a_1 + 5d) + 5\end{cases}$

Решим эту систему. Сначала упростим каждое уравнение.
Из первого уравнения:
$a_1 + 8d = 5a_1 + 5d$
$8d - 5d = 5a_1 - a_1$
$3d = 4a_1$

Из второго уравнения:
$a_1 + 12d = 2a_1 + 10d + 5$
$12d - 10d = 2a_1 - a_1 + 5$
$2d = a_1 + 5$
Из этого уравнения удобно выразить $a_1$:
$a_1 = 2d - 5$

Теперь подставим полученное выражение для $a_1$ в первое упрощенное уравнение ($3d = 4a_1$):
$3d = 4(2d - 5)$
$3d = 8d - 20$
$8d - 3d = 20$
$5d = 20$
$d = 4$

Теперь найдем $a_1$, подставив значение $d=4$ в выражение $a_1 = 2d - 5$:
$a_1 = 2(4) - 5 = 8 - 5 = 3$

Мы получили, что первый член $a_1 = 3$ и разность $d = 4$. Оба числа целые, что соответствует условию задачи.

Осталось проверить дополнительное условие $5 < |a_6|$.
Найдем шестой член прогрессии:
$a_6 = a_1 + 5d = 3 + 5(4) = 3 + 20 = 23$
Неравенство $5 < |23|$ выполняется. Все условия задачи соблюдены.

Ответ: первый член прогрессии равен 3, а разность прогрессии равна 4.