Номер 16.54, страница 104, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

16.54 Дана конечная арифметическая прогрессия ($a_n$). Найдите $n$, если:

а) $a_1 = 5\sqrt{3}$, $d = 1 - \sqrt{3}$, $a_n = 6 - \sqrt{3}$;

б) $a_1 = 5 - \sqrt{2}$, $d = 2\sqrt{2} - 1$, $a_n = 13\sqrt{2} - 2$;

в) $a_1 = 5 - \sqrt{5}$, $d = 2 - \sqrt{5}$, $a_n = 13 - 5\sqrt{5}$;

г) $a_1 = \frac{5\sqrt{3} - 7}{3}$, $d = -\frac{\sqrt{3} - 2}{3}$, $a_n = 1$.

Для нахождения номера $n$ члена арифметической прогрессии $(a_n)$ используется формула $a_n = a_1 + (n-1)d$, где $a_1$ — первый член прогрессии, $d$ — разность прогрессии. Выразим из этой формулы $n$:

$a_n - a_1 = (n-1)d$

$n-1 = \frac{a_n - a_1}{d}$

$n = \frac{a_n - a_1}{d} + 1$

Применим эту формулу для каждого случая.

а) Дано: $a_1 = 5\sqrt{3}$, $d = 1 - \sqrt{3}$, $a_n = 6 - \sqrt{3}$.

Найдем разность $a_n - a_1$:

$a_n - a_1 = (6 - \sqrt{3}) - 5\sqrt{3} = 6 - 6\sqrt{3}$.

Теперь подставим значения в формулу для $n$:

$n = \frac{6 - 6\sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}} + 1$

Вынесем общий множитель 6 в числителе:

$n = \frac{6(1 - \sqrt{3})}{1 - \sqrt{3}} + 1 = 6 + 1 = 7$.

Ответ: $n=7$.

б) Дано: $a_1 = 5 - \sqrt{2}$, $d = 2\sqrt{2} - 1$, $a_n = 13\sqrt{2} - 2$.

Найдем разность $a_n - a_1$:

$a_n - a_1 = (13\sqrt{2} - 2) - (5 - \sqrt{2}) = 13\sqrt{2} - 2 - 5 + \sqrt{2} = 14\sqrt{2} - 7$.

Подставим значения в формулу для $n$:

$n = \frac{14\sqrt{2} - 7}{2\sqrt{2} - 1} + 1$

Вынесем общий множитель 7 в числителе:

$n = \frac{7(2\sqrt{2} - 1)}{2\sqrt{2} - 1} + 1 = 7 + 1 = 8$.

Ответ: $n=8$.

в) Дано: $a_1 = 5 - \sqrt{5}$, $d = 2 - \sqrt{5}$, $a_n = 13 - 5\sqrt{5}$.

Найдем разность $a_n - a_1$:

$a_n - a_1 = (13 - 5\sqrt{5}) - (5 - \sqrt{5}) = 13 - 5\sqrt{5} - 5 + \sqrt{5} = 8 - 4\sqrt{5}$.

Подставим значения в формулу для $n$:

$n = \frac{8 - 4\sqrt{5}}{2 - \sqrt{5}} + 1$

Вынесем общий множитель 4 в числителе:

$n = \frac{4(2 - \sqrt{5})}{2 - \sqrt{5}} + 1 = 4 + 1 = 5$.

Ответ: $n=5$.

г) Дано: $a_1 = \frac{5\sqrt{3} - 7}{3}$, $d = -\frac{\sqrt{3} - 2}{3}$, $a_n = 1$.

Упростим выражение для разности $d$: $d = \frac{-(\sqrt{3} - 2)}{3} = \frac{2 - \sqrt{3}}{3}$.

Найдем разность $a_n - a_1$:

$a_n - a_1 = 1 - \frac{5\sqrt{3} - 7}{3} = \frac{3}{3} - \frac{5\sqrt{3} - 7}{3} = \frac{3 - (5\sqrt{3} - 7)}{3} = \frac{3 - 5\sqrt{3} + 7}{3} = \frac{10 - 5\sqrt{3}}{3}$.

Подставим значения в формулу для $n$:

$n = \frac{\frac{10 - 5\sqrt{3}}{3}}{\frac{2 - \sqrt{3}}{3}} + 1$

Сократим знаменатели дробей:

$n = \frac{10 - 5\sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}} + 1$

Вынесем общий множитель 5 в числителе:

$n = \frac{5(2 - \sqrt{3})}{2 - \sqrt{3}} + 1 = 5 + 1 = 6$.

Ответ: $n=6$.