Номер 16.51, страница 104, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

16.51 Дана конечная арифметическая прогрессия ($a_n$). Найдите $a_n$, если:

а) $a_1 = -\sqrt{2}$, $d = 1 + \sqrt{2}$, $n = 7$;

б) $a_1 = 3 - \sqrt{5}$, $d = 2\sqrt{5}$, $n = 15$;

в) $a_1 = 9\sqrt{3} - 2$, $d = 2 - \sqrt{3}$, $n = 12$;

г) $a_1 = \frac{5\sqrt{3}-7}{3}$, $d = -\frac{\sqrt{3}-2}{3}$, $n = 9$.

Для решения задачи воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$, где $a_1$ — первый член прогрессии, $d$ — разность прогрессии, а $n$ — номер искомого члена.

а) Дано: $a_1 = -\sqrt{2}$, $d = 1 + \sqrt{2}$, $n = 7$.

Найдём седьмой член прогрессии ($a_7$):

$a_7 = a_1 + (7-1)d = a_1 + 6d$

Подставим известные значения в формулу:

$a_7 = -\sqrt{2} + 6(1 + \sqrt{2})$

Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:

$a_7 = -\sqrt{2} + 6 + 6\sqrt{2} = 6 + (6\sqrt{2} - \sqrt{2}) = 6 + 5\sqrt{2}$

Ответ: $6 + 5\sqrt{2}$.

б) Дано: $a_1 = 3 - \sqrt{5}$, $d = 2\sqrt{5}$, $n = 15$.

Найдём пятнадцатый член прогрессии ($a_{15}$):

$a_{15} = a_1 + (15-1)d = a_1 + 14d$

Подставим известные значения:

$a_{15} = (3 - \sqrt{5}) + 14(2\sqrt{5})$

Выполним вычисления:

$a_{15} = 3 - \sqrt{5} + 28\sqrt{5} = 3 + (28\sqrt{5} - \sqrt{5}) = 3 + 27\sqrt{5}$

Ответ: $3 + 27\sqrt{5}$.

в) Дано: $a_1 = 9\sqrt{3} - 2$, $d = 2 - \sqrt{3}$, $n = 12$.

Найдём двенадцатый член прогрессии ($a_{12}$):

$a_{12} = a_1 + (12-1)d = a_1 + 11d$

Подставим известные значения:

$a_{12} = (9\sqrt{3} - 2) + 11(2 - \sqrt{3})$

Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:

$a_{12} = 9\sqrt{3} - 2 + 22 - 11\sqrt{3} = (22-2) + (9\sqrt{3} - 11\sqrt{3}) = 20 - 2\sqrt{3}$

Ответ: $20 - 2\sqrt{3}$.

г) Дано: $a_1 = \frac{5\sqrt{3}-7}{3}$, $d = -\frac{\sqrt{3}-2}{3}$, $n = 9$.

Найдём девятый член прогрессии ($a_9$):

$a_9 = a_1 + (9-1)d = a_1 + 8d$

Подставим известные значения:

$a_9 = \frac{5\sqrt{3}-7}{3} + 8 \left(-\frac{\sqrt{3}-2}{3}\right) = \frac{5\sqrt{3}-7}{3} - \frac{8(\sqrt{3}-2)}{3}$

Так как знаменатели одинаковы, выполним вычитание числителей:

$a_9 = \frac{(5\sqrt{3}-7) - 8(\sqrt{3}-2)}{3} = \frac{5\sqrt{3}-7 - 8\sqrt{3} + 16}{3}$

Приведём подобные слагаемые в числителе:

$a_9 = \frac{(5\sqrt{3} - 8\sqrt{3}) + (16 - 7)}{3} = \frac{-3\sqrt{3} + 9}{3}$

Вынесем общий множитель 3 в числителе и сократим дробь:

$a_9 = \frac{3(-\sqrt{3} + 3)}{3} = 3 - \sqrt{3}$

Ответ: $3 - \sqrt{3}$.