Номер 16.46, страница 103, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

16.46 а) Найдите сумму всех трёхзначных чисел, кратных 8.

б) Найдите сумму всех трёхзначных чисел, которые при делении на 12 дают в остатке 5.

а)

Трехзначные числа, кратные 8, образуют арифметическую прогрессию. Найдем ее основные параметры.

Первый член прогрессии ($a_1$) — это наименьшее трехзначное число, которое делится на 8. Наименьшее трехзначное число — 100. При делении 100 на 8 получаем остаток 4 ($100 = 12 \cdot 8 + 4$). Следовательно, наименьшее трехзначное число, кратное 8, это $100 - 4 + 8 = 104$. Итак, $a_1 = 104$.

Последний член прогрессии ($a_n$) — это наибольшее трехзначное число, которое делится на 8. Наибольшее трехзначное число — 999. При делении 999 на 8 получаем остаток 7 ($999 = 124 \cdot 8 + 7$). Значит, искомое число равно $999 - 7 = 992$. Итак, $a_n = 992$.

Разность прогрессии ($d$) равна 8, так как мы рассматриваем числа, кратные 8.

Теперь найдем количество членов ($n$) в этой прогрессии, используя формулу n-го члена арифметической прогрессии $a_n = a_1 + (n-1)d$:
$992 = 104 + (n-1) \cdot 8$
$992 - 104 = (n-1) \cdot 8$
$888 = (n-1) \cdot 8$
$n-1 = \frac{888}{8} = 111$
$n = 112$

Для нахождения суммы всех этих чисел воспользуемся формулой суммы арифметической прогрессии $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$:
$S_{112} = \frac{104 + 992}{2} \cdot 112 = \frac{1096}{2} \cdot 112 = 548 \cdot 112 = 61376$.

Ответ: 61376

б)

Трехзначные числа, которые при делении на 12 дают в остатке 5, образуют арифметическую прогрессию. Общий вид таких чисел: $12k+5$, где $k$ — целое число.

Найдем первый член прогрессии ($b_1$), который является трехзначным числом. Для этого решим неравенство:
$12k+5 \ge 100$
$12k \ge 95$
$k \ge \frac{95}{12} \approx 7.91$
Так как $k$ — целое, наименьшее подходящее значение $k=8$.
Первый член прогрессии: $b_1 = 12 \cdot 8 + 5 = 96 + 5 = 101$.

Найдем последний член прогрессии ($b_n$), который является трехзначным. Решим неравенство:
$12k+5 \le 999$
$12k \le 994$
$k \le \frac{994}{12} \approx 82.83$
Так как $k$ — целое, наибольшее подходящее значение $k=82$.
Последний член прогрессии: $b_n = 12 \cdot 82 + 5 = 984 + 5 = 989$.

Разность прогрессии ($d$) равна 12.

Найдем количество членов прогрессии ($n$). Значения $k$ изменяются от 8 до 82 включительно. Количество таких значений: $n = 82 - 8 + 1 = 75$.

Теперь вычислим сумму этих чисел по формуле суммы арифметической прогрессии $S_n = \frac{b_1 + b_n}{2} \cdot n$:
$S_{75} = \frac{101 + 989}{2} \cdot 75 = \frac{1090}{2} \cdot 75 = 545 \cdot 75 = 40875$.

Ответ: 40875