Номер 16.42, страница 103, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

16.42 a) Найдите $a_{10} + a_{20}$, если известно, что $a_9 + a_{11} = 44$ и $a_{19} + a_{21} = 104$.

б) Найдите $a_{15} + a_{30}$, если известно, что $a_{14} + a_{16} = -20$ и $a_{29} + a_{31} = 40$.

а)

В задаче, по всей видимости, речь идет об арифметической прогрессии. Воспользуемся характеристическим свойством арифметической прогрессии: любой член прогрессии равен среднему арифметическому равноотстоящих от него членов. Это свойство можно записать в виде формулы: $a_{n-k} + a_{n+k} = 2a_n$.

Применим это свойство к первому условию: $a_9 + a_{11} = 44$.
Члены $a_9$ и $a_{11}$ равноудалены от члена $a_{10}$. Следовательно, их сумма равна удвоенному значению этого члена: $a_9 + a_{11} = 2a_{10}$.
Подставив данное значение, получаем уравнение: $2a_{10} = 44$.
Решая его, находим $a_{10}$: $a_{10} = \frac{44}{2} = 22$.

Теперь применим то же свойство ко второму условию: $a_{19} + a_{21} = 104$.
Члены $a_{19}$ и $a_{21}$ равноудалены от члена $a_{20}$. Значит, $a_{19} + a_{21} = 2a_{20}$.
Подставляем известное значение: $2a_{20} = 104$.
Находим $a_{20}$: $a_{20} = \frac{104}{2} = 52$.

Искомая величина — это сумма $a_{10} + a_{20}$.
$a_{10} + a_{20} = 22 + 52 = 74$.

Ответ: 74.

б)

Действуем аналогично пункту а), используя свойство среднего арифметического для членов арифметической прогрессии: $a_{n-k} + a_{n+k} = 2a_n$.

Из первого условия $a_{14} + a_{16} = -20$ следует, что $2a_{15} = -20$, так как $a_{15}$ является средним арифметическим для $a_{14}$ и $a_{16}$.
Отсюда находим $a_{15}$: $a_{15} = \frac{-20}{2} = -10$.

Из второго условия $a_{29} + a_{31} = 40$ следует, что $2a_{30} = 40$, так как $a_{30}$ является средним арифметическим для $a_{29}$ и $a_{31}$.
Отсюда находим $a_{30}$: $a_{30} = \frac{40}{2} = 20$.

Теперь вычисляем требуемую сумму $a_{15} + a_{30}$.
$a_{15} + a_{30} = -10 + 20 = 10$.

Ответ: 10.