Номер 16.48, страница 103, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

16.48 Составьте формулу $n$-го члена арифметической прогрессии $(a_n)$, если:

a) $a_5 = 15$, $a_{12} = 29$;

б) $a_9 = -30$, $a_{19} = -45$;

в) $a_7 = 20$, $a_{15} = 40$;

г) $a_5 = 0,2$, $a_{16} = -7,5$.

Общий подход к решению: формула n-го члена арифметической прогрессии $(a_n)$ имеет вид $a_n = a_1 + (n-1)d$, где $a_1$ — первый член прогрессии, а $d$ — её разность. Чтобы составить формулу для $a_n$, нам нужно найти $a_1$ и $d$, используя данные в условии задачи.

Разность $d$ можно найти по формуле, связывающей два любых члена прогрессии: $d = \frac{a_m - a_k}{m - k}$.

После нахождения $d$, первый член $a_1$ можно выразить из формулы для одного из известных членов, например: $a_k = a_1 + (k-1)d \implies a_1 = a_k - (k-1)d$.

а) Дано: $a_5 = 15, a_{12} = 29$.

1. Найдем разность прогрессии $d$:

$d = \frac{a_{12} - a_5}{12 - 5} = \frac{29 - 15}{7} = \frac{14}{7} = 2$.

2. Теперь найдем первый член прогрессии $a_1$, используя $a_5 = 15$ и $d=2$:

$a_5 = a_1 + (5-1)d$

$15 = a_1 + 4 \cdot 2$

$15 = a_1 + 8$

$a_1 = 15 - 8 = 7$.

3. Подставим найденные значения $a_1 = 7$ и $d = 2$ в общую формулу n-го члена и упростим:

$a_n = 7 + (n-1) \cdot 2 = 7 + 2n - 2 = 2n + 5$.

Ответ: $a_n = 2n + 5$.

б) Дано: $a_9 = -30, a_{19} = -45$.

1. Найдем разность прогрессии $d$:

$d = \frac{a_{19} - a_9}{19 - 9} = \frac{-45 - (-30)}{10} = \frac{-15}{10} = -1,5$.

2. Теперь найдем первый член прогрессии $a_1$, используя $a_9 = -30$ и $d=-1,5$:

$a_9 = a_1 + (9-1)d$

$-30 = a_1 + 8 \cdot (-1,5)$

$-30 = a_1 - 12$

$a_1 = -30 + 12 = -18$.

3. Подставим найденные значения $a_1 = -18$ и $d = -1,5$ в общую формулу n-го члена и упростим:

$a_n = -18 + (n-1) \cdot (-1,5) = -18 - 1,5n + 1,5 = -1,5n - 16,5$.

Ответ: $a_n = -1,5n - 16,5$.

в) Дано: $a_7 = 20, a_{15} = 40$.

1. Найдем разность прогрессии $d$:

$d = \frac{a_{15} - a_7}{15 - 7} = \frac{40 - 20}{8} = \frac{20}{8} = 2,5$.

2. Теперь найдем первый член прогрессии $a_1$, используя $a_7 = 20$ и $d=2,5$:

$a_7 = a_1 + (7-1)d$

$20 = a_1 + 6 \cdot 2,5$

$20 = a_1 + 15$

$a_1 = 20 - 15 = 5$.

3. Подставим найденные значения $a_1 = 5$ и $d = 2,5$ в общую формулу n-го члена и упростим:

$a_n = 5 + (n-1) \cdot 2,5 = 5 + 2,5n - 2,5 = 2,5n + 2,5$.

Ответ: $a_n = 2,5n + 2,5$.

г) Дано: $a_5 = 0,2, a_{16} = -7,5$.

1. Найдем разность прогрессии $d$:

$d = \frac{a_{16} - a_5}{16 - 5} = \frac{-7,5 - 0,2}{11} = \frac{-7,7}{11} = -0,7$.

2. Теперь найдем первый член прогрессии $a_1$, используя $a_5 = 0,2$ и $d=-0,7$:

$a_5 = a_1 + (5-1)d$

$0,2 = a_1 + 4 \cdot (-0,7)$

$0,2 = a_1 - 2,8$

$a_1 = 0,2 + 2,8 = 3$.

3. Подставим найденные значения $a_1 = 3$ и $d = -0,7$ в общую формулу n-го члена и упростим:

$a_n = 3 + (n-1) \cdot (-0,7) = 3 - 0,7n + 0,7 = 3,7 - 0,7n$.

Ответ: $a_n = 3,7 - 0,7n$.