Номер 16.45, страница 103, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

16.45 а) Найдите сумму всех двузначных чисел, кратных 7.

б) Найдите сумму всех двузначных чисел, которые при делении на 5 дают в остатке 2.

а)

Двузначные числа, кратные 7, представляют собой арифметическую прогрессию. Двузначные числа — это числа от 10 до 99 включительно.

1. Найдем первый член прогрессии ($a_1$). Это наименьшее двузначное число, которое делится на 7 без остатка. Ближайшее к 10 число, кратное 7, — это $7 \times 2 = 14$. Таким образом, $a_1 = 14$.

2. Найдем последний член прогрессии ($a_n$). Это наибольшее двузначное число, кратное 7. Разделим 99 на 7: $99 \div 7 \approx 14.14$. Возьмем целую часть — 14. $7 \times 14 = 98$. Таким образом, $a_n = 98$.

3. Разность прогрессии ($d$) равна 7, так как мы ищем числа, кратные 7.

4. Найдем количество членов прогрессии ($n$) по формуле $n$-го члена арифметической прогрессии $a_n = a_1 + (n-1)d$: $98 = 14 + (n-1) \times 7$ $98 - 14 = 7(n-1)$ $84 = 7(n-1)$ $n-1 = \frac{84}{7}$ $n-1 = 12$ $n = 13$ Всего 13 таких чисел.

5. Найдем сумму этих чисел по формуле суммы арифметической прогрессии $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \times n$: $S_{13} = \frac{14 + 98}{2} \times 13 = \frac{112}{2} \times 13 = 56 \times 13 = 728$.

Ответ: 728

б)

Двузначные числа, которые при делении на 5 дают в остатке 2, также образуют арифметическую прогрессию. Эти числа можно представить в виде $5k+2$.

1. Найдем первый член прогрессии ($b_1$). Это наименьшее двузначное число, которое при делении на 5 дает в остатке 2. Такие числа должны оканчиваться на 2 или 7. Наименьшее двузначное число с таким свойством — 12. Проверка: $12 = 5 \times 2 + 2$. Итак, $b_1 = 12$.

2. Найдем последний член прогрессии ($b_m$). Это наибольшее двузначное число, которое при делении на 5 дает в остатке 2. Наибольшее двузначное число, оканчивающееся на 2 или 7, — это 97. Проверка: $97 = 5 \times 19 + 2$. Итак, $b_m = 97$.

3. Разность прогрессии ($d$) равна 5, так как каждое следующее число в последовательности больше предыдущего на 5 (например, 12, 17, 22, ...).

4. Найдем количество членов прогрессии ($m$) по формуле $m$-го члена арифметической прогрессии $b_m = b_1 + (m-1)d$: $97 = 12 + (m-1) \times 5$ $97 - 12 = 5(m-1)$ $85 = 5(m-1)$ $m-1 = \frac{85}{5}$ $m-1 = 17$ $m = 18$ Всего 18 таких чисел.

5. Найдем сумму этих чисел по формуле суммы арифметической прогрессии $S_m = \frac{b_1 + b_m}{2} \times m$: $S_{18} = \frac{12 + 97}{2} \times 18 = \frac{109}{2} \times 18 = 109 \times 9 = 981$.

Ответ: 981