Номер 16.44, страница 103, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

16.44 Найдите те значения $y$, при которых числа $2y + 5$, $y$, $3y - 8$ являются последовательными членами арифметической прогрессии.

Для того чтобы три числа являлись последовательными членами арифметической прогрессии, необходимо и достаточно, чтобы среднее из них было равно среднему арифметическому двух других (крайних) членов. Если обозначить три последовательных члена прогрессии как $a_1$, $a_2$ и $a_3$, то должно выполняться свойство: $a_2 = \frac{a_1 + a_3}{2}$.

В условии задачи даны три числа: $2y + 5$, $y$ и $3y - 8$. Будем считать, что они являются последовательными членами арифметической прогрессии именно в этом порядке. Таким образом, мы можем обозначить:
$a_1 = 2y + 5$
$a_2 = y$
$a_3 = 3y - 8$

Теперь применим характеристическое свойство арифметической прогрессии, подставив в формулу наши выражения:
$y = \frac{(2y + 5) + (3y - 8)}{2}$

Решим полученное линейное уравнение относительно переменной $y$. Сначала умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от знаменателя:
$2y = (2y + 5) + (3y - 8)$

Далее упростим правую часть уравнения, сгруппировав подобные слагаемые:
$2y = (2y + 3y) + (5 - 8)$
$2y = 5y - 3$

Перенесем все слагаемые, содержащие $y$, в правую часть уравнения, а числовые слагаемые — в левую:
$3 = 5y - 2y$
$3 = 3y$

Наконец, разделим обе части уравнения на 3, чтобы найти значение $y$:
$y = \frac{3}{3}$
$y = 1$

Проверим полученный результат. Подставим значение $y = 1$ в исходные выражения:
Первый член: $2(1) + 5 = 2 + 5 = 7$
Второй член: $1$
Третий член: $3(1) - 8 = 3 - 8 = -5$
Мы получили последовательность чисел 7, 1, -5. Найдем разность между соседними членами: $1 - 7 = -6$ и $-5 - 1 = -6$. Так как разность постоянна и равна -6, эти числа действительно образуют арифметическую прогрессию.

Ответ: 1.