Номер 16.41, страница 102, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

16.41 a) Зная, что $a_1 + a_{20} = 64$, найдите $a_2 + a_{19}$;

б) Зная, что $a_3 + a_{17} = -40$, найдите $a_1 + a_{19}$;

в) Зная, что $a_2 + a_{15} = 25$, найдите $a_1 + a_{16}$;

г) Зная, что $a_1 + a_{25} = -10$, найдите $a_{10} + a_{16}$.

Для решения всех пунктов задачи предполагается, что последовательность $a_n$ является арифметической прогрессией. Воспользуемся свойством арифметической прогрессии: сумма двух членов прогрессии $a_k$ и $a_m$ равна сумме двух других членов $a_p$ и $a_q$, если суммы их индексов равны, то есть, если $k + m = p + q$.

Это свойство легко доказывается с помощью формулы n-го члена арифметической прогрессии $a_n = a_1 + (n-1)d$, где $a_1$ — первый член, а $d$ — разность прогрессии:

$a_k + a_m = (a_1 + (k-1)d) + (a_1 + (m-1)d) = 2a_1 + (k+m-2)d$.

$a_p + a_q = (a_1 + (p-1)d) + (a_1 + (q-1)d) = 2a_1 + (p+q-2)d$.

Если $k+m = p+q$, то и правые части этих равенств равны, а значит, $a_k + a_m = a_p + a_q$.

а)

Нам дано, что $a_1 + a_{20} = 64$. Сумма индексов в этом выражении равна $1 + 20 = 21$.

Нам нужно найти сумму $a_2 + a_{19}$. Сумма индексов здесь равна $2 + 19 = 21$.

Поскольку суммы индексов равны ($1 + 20 = 2 + 19$), то и суммы соответствующих членов прогрессии будут равны:

$a_2 + a_{19} = a_1 + a_{20} = 64$.

Ответ: 64

б)

Нам дано, что $a_3 + a_{17} = -40$. Сумма индексов: $3 + 17 = 20$.

Требуется найти сумму $a_1 + a_{19}$. Сумма индексов: $1 + 19 = 20$.

Так как $3 + 17 = 1 + 19$, то $a_3 + a_{17} = a_1 + a_{19}$.

Следовательно, $a_1 + a_{19} = -40$.

Ответ: -40

в)

Нам дано, что $a_2 + a_{15} = 25$. Сумма индексов: $2 + 15 = 17$.

Требуется найти сумму $a_1 + a_{16}$. Сумма индексов: $1 + 16 = 17$.

Так как $2 + 15 = 1 + 16$, то $a_2 + a_{15} = a_1 + a_{16}$.

Следовательно, $a_1 + a_{16} = 25$.

Ответ: 25

г)

Нам дано, что $a_1 + a_{25} = -10$. Сумма индексов: $1 + 25 = 26$.

Требуется найти сумму $a_{10} + a_{16}$. Сумма индексов: $10 + 16 = 26$.

Так как $1 + 25 = 10 + 16$, то $a_1 + a_{25} = a_{10} + a_{16}$.

Следовательно, $a_{10} + a_{16} = -10$.

Ответ: -10