Номер 16.38, страница 102, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

16.38 Для арифметической прогрессии ($a_n$) заполните таблицу:

Для решения задачи будем использовать формулы для n-го члена арифметической прогрессии $a_n = a_1 + (n-1)d$ и суммы первых n членов $S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)$.

Строка 1

Дано: $a_1 = 7$, $d = 4$, $n = 13$.

Требуется найти $a_n$ и $S_n$.

1. Найдем $n$-й член прогрессии, в данном случае $a_{13}$:

$a_{13} = a_1 + (13-1)d = 7 + 12 \cdot 4 = 7 + 48 = 55$.

2. Найдем сумму первых 13 членов $S_{13}$:

$S_{13} = \frac{n}{2}(a_1 + a_{13}) = \frac{13}{2}(7 + 55) = \frac{13}{2} \cdot 62 = 13 \cdot 31 = 403$.

Ответ: $a_n = 55$, $S_n = 403$.

Строка 2

Дано: $a_1 = 2$, $d = 2$, $a_n = 80$.

Требуется найти $n$ и $S_n$.

1. Найдем номер члена $n$ из формулы для $n$-го члена:

$a_n = a_1 + (n-1)d$

$80 = 2 + (n-1) \cdot 2$

$78 = (n-1) \cdot 2$

$n-1 = \frac{78}{2} = 39$

$n = 39 + 1 = 40$.

2. Найдем сумму первых 40 членов $S_{40}$:

$S_{40} = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) = \frac{40}{2}(2 + 80) = 20 \cdot 82 = 1640$.

Ответ: $n = 40$, $S_n = 1640$.

Строка 3

Дано: $a_1 = 56$, $a_n = 26$, $n = 11$.

Требуется найти $d$ и $S_n$.

1. Найдем разность прогрессии $d$ из формулы для $n$-го члена $a_{11} = 26$:

$a_{11} = a_1 + (11-1)d$

$26 = 56 + 10d$

$10d = 26 - 56 = -30$

$d = -3$.

2. Найдем сумму первых 11 членов $S_{11}$:

$S_{11} = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) = \frac{11}{2}(56 + 26) = \frac{11}{2} \cdot 82 = 11 \cdot 41 = 451$.

Ответ: $d = -3$, $S_n = 451$.

Строка 4

Дано: $a_1 = 2$, $a_n = 87$, $S_n = 801$.

Требуется найти $d$ и $n$.

1. Найдем количество членов $n$ из формулы суммы:

$S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$

$801 = \frac{n}{2}(2 + 87) = \frac{n}{2} \cdot 89$

$n = \frac{801 \cdot 2}{89} = 9 \cdot 2 = 18$.

2. Зная, что $n=18$ и $a_{18}=87$, найдем разность прогрессии $d$:

$a_{18} = a_1 + (18-1)d$

$87 = 2 + 17d$

$17d = 87 - 2 = 85$

$d = \frac{85}{17} = 5$.

Ответ: $d = 5$, $n = 18$.

Строка 5

Дано: $a_n = 21$, $n = 7$, $S_n = 105$.

Требуется найти $a_1$ и $d$.

1. Найдем первый член прогрессии $a_1$ из формулы суммы $S_7 = 105$:

$S_7 = \frac{7}{2}(a_1 + a_7)$

$105 = \frac{7}{2}(a_1 + 21)$

$105 \cdot \frac{2}{7} = a_1 + 21$

$15 \cdot 2 = a_1 + 21$

$30 = a_1 + 21$

$a_1 = 30 - 21 = 9$.

2. Зная $a_1=9$, $a_7=21$ и $n=7$, найдем разность $d$:

$a_7 = a_1 + (7-1)d$

$21 = 9 + 6d$

$6d = 21 - 9 = 12$

$d = \frac{12}{6} = 2$.

Ответ: $a_1 = 9$, $d = 2$.