Номер 16.31, страница 101, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

16.31 Сумма второго и пятого членов арифметической прогрессии равна $a_2 + a_5 = 18$, а произведение второго и третьего её членов равно $a_2 \cdot a_3 = 21$. Запишите первые пять членов этой прогрессии, если известно, что третий её член — положительное число ($a_3 > 0$).

Обозначим члены арифметической прогрессии как $a_n$, где $n$ — номер члена. Пусть $a_1$ — первый член прогрессии, а $d$ — её разность.

Согласно условию, сумма второго и пятого членов равна 18. Запишем это в виде уравнения:
$a_2 + a_5 = 18$

Также по условию, произведение второго и третьего членов равно 21:
$a_2 \cdot a_3 = 21$

Используем формулу n-го члена арифметической прогрессии $a_n = a_1 + (n-1)d$. Выразим $a_2$, $a_3$ и $a_5$ через $a_1$ и $d$:
$a_2 = a_1 + d$
$a_3 = a_1 + 2d$
$a_5 = a_1 + 4d$

Подставим эти выражения в уравнения, полученные из условий задачи, и получим систему двух уравнений с двумя неизвестными:
$\begin{cases} (a_1 + d) + (a_1 + 4d) = 18 \\ (a_1 + d)(a_1 + 2d) = 21 \end{cases}$

Упростим первое уравнение системы:
$2a_1 + 5d = 18$

Выразим $a_1$ из этого уравнения:
$2a_1 = 18 - 5d$
$a_1 = \frac{18 - 5d}{2} = 9 - 2.5d$

Подставим полученное выражение для $a_1$ во второе уравнение системы:
$( (9 - 2.5d) + d ) \cdot ( (9 - 2.5d) + 2d ) = 21$
$(9 - 1.5d)(9 - 0.5d) = 21$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение относительно $d$:
$81 - 4.5d - 13.5d + 0.75d^2 = 21$
$0.75d^2 - 18d + 81 - 21 = 0$
$0.75d^2 - 18d + 60 = 0$

Для удобства умножим все члены уравнения на 4, чтобы избавиться от дроби, а затем разделим на 3 для упрощения:
$3d^2 - 72d + 240 = 0 \quad | :3$
$d^2 - 24d + 80 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения, например, по теореме Виета. Сумма корней равна 24, а их произведение равно 80. Этим условиям удовлетворяют числа 4 и 20.
$d_1 = 4$, $d_2 = 20$.

Теперь необходимо рассмотреть два возможных случая, чтобы найти тот, который удовлетворяет всем условиям задачи.

Случай 1: разность прогрессии $d = 4$.
Найдем первый член прогрессии $a_1$:
$a_1 = 9 - 2.5 \cdot 4 = 9 - 10 = -1$.
Проверим условие положительности третьего члена. Найдем $a_3$:
$a_3 = a_1 + 2d = -1 + 2 \cdot 4 = -1 + 8 = 7$.
Так как $a_3 = 7 > 0$, это решение удовлетворяет условию задачи.

Случай 2: разность прогрессии $d = 20$.
Найдем первый член прогрессии $a_1$:
$a_1 = 9 - 2.5 \cdot 20 = 9 - 50 = -41$.
Найдем $a_3$:
$a_3 = a_1 + 2d = -41 + 2 \cdot 20 = -41 + 40 = -1$.
Так как $a_3 = -1 < 0$, это решение не удовлетворяет условию задачи.

Таким образом, единственно возможный вариант — это прогрессия с $a_1 = -1$ и $d = 4$. Запишем её первые пять членов:
$a_1 = -1$
$a_2 = a_1 + d = -1 + 4 = 3$
$a_3 = a_2 + d = 3 + 4 = 7$
$a_4 = a_3 + d = 7 + 4 = 11$
$a_5 = a_4 + d = 11 + 4 = 15$

Ответ: -1, 3, 7, 11, 15.