Номер 16.28, страница 101, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

16.28 Укажите наименьший номер, начиная с которого все члены заданной арифметической прогрессии $(a_n)$ будут меньше заданного числа $A$:

а) 2, 1,9, 1,8, 1,7, ..., $A = 0$;

б) 15,9, 15,5, 15,1, ..., $A = 0,9$;

в) 110, 100, 90, ..., $A = 15$;

г) $-1$, $-1,75$, $-2,5$, ..., $A = -16,3$.

а) Для арифметической прогрессии $2, 1.9, 1.8, 1.7, \dots$ первый член $a_1 = 2$, а второй $a_2 = 1.9$. Найдем разность прогрессии $d = a_2 - a_1 = 1.9 - 2 = -0.1$.
Нам нужно найти наименьший номер $n$, начиная с которого все члены прогрессии $a_n$ будут меньше заданного числа $A=0$. Это означает, что мы должны решить неравенство $a_n < 0$.
Используем формулу n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Подставим известные значения и решим неравенство:
$2 + (n-1)(-0.1) < 0$
$2 - 0.1(n-1) < 0$
$2 < 0.1(n-1)$
Разделим обе части на 0.1:
$20 < n-1$
$21 < n$
Наименьшее натуральное число $n$, удовлетворяющее этому неравенству, это 22. Так как разность прогрессии отрицательна ($d < 0$), последовательность является убывающей, и все члены с номерами, большими или равными 22, будут меньше 0.
Ответ: 22.

б) Для арифметической прогрессии $15.9, 15.5, 15.1, \dots$ первый член $a_1 = 15.9$, а разность $d = 15.5 - 15.9 = -0.4$.
Нам нужно найти наименьший номер $n$, для которого $a_n < A$, где $A=0.9$.
Составим и решим неравенство:
$a_1 + (n-1)d < 0.9$
$15.9 + (n-1)(-0.4) < 0.9$
$15.9 - 0.4(n-1) < 0.9$
$15.9 - 0.9 < 0.4(n-1)$
$15 < 0.4(n-1)$
Разделим обе части на 0.4:
$37.5 < n-1$
$38.5 < n$
Наименьшее натуральное число $n$, удовлетворяющее этому неравенству, это 39.
Ответ: 39.

в) Для арифметической прогрессии $110, 100, 90, \dots$ первый член $a_1 = 110$, а разность $d = 100 - 110 = -10$.
Нам нужно найти наименьший номер $n$, для которого $a_n < A$, где $A=15$.
Составим и решим неравенство:
$a_1 + (n-1)d < 15$
$110 + (n-1)(-10) < 15$
$110 - 10(n-1) < 15$
$110 - 15 < 10(n-1)$
$95 < 10(n-1)$
Разделим обе части на 10:
$9.5 < n-1$
$10.5 < n$
Наименьшее натуральное число $n$, удовлетворяющее этому неравенству, это 11.
Ответ: 11.

г) Для арифметической прогрессии $-1, -1.75, -2.5, \dots$ первый член $a_1 = -1$, а разность $d = -1.75 - (-1) = -0.75$.
Нам нужно найти наименьший номер $n$, для которого $a_n < A$, где $A=-16.3$.
Составим и решим неравенство:
$a_1 + (n-1)d < -16.3$
$-1 + (n-1)(-0.75) < -16.3$
$-1 - 0.75(n-1) < -16.3$
$-0.75(n-1) < -16.3 + 1$
$-0.75(n-1) < -15.3$
Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:
$0.75(n-1) > 15.3$
Разделим обе части на 0.75:
$n-1 > 15.3 / 0.75$
$n-1 > 20.4$
$n > 21.4$
Наименьшее натуральное число $n$, удовлетворяющее этому неравенству, это 22.
Ответ: 22.