Номер 16.27, страница 100, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

16.27 Является ли число $b$ членом заданной арифметической прогрессии $(a_n)$? Если да, то укажите номер этого члена.

а) $a_1 = 5, d = 0,3, b = 21,2;$

б) $a_1 = 3, d = -0,35, b = 0,65;$

в) $a_1 = -7, d = 5,1, b = 44;$

г) $a_1 = -0,13, d = 0,02, b = -0,01.$

Чтобы определить, является ли число $b$ членом арифметической прогрессии $(a_n)$, нужно проверить, существует ли такое натуральное число $n$, для которого выполняется равенство $a_n = b$. Для этого воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

а)

Дано: $a_1 = 5$, $d = 0,3$, $b = 21,2$.
Подставим эти значения в формулу, приняв $a_n = b$:
$21,2 = 5 + (n-1) \cdot 0,3$
Выразим $n-1$:
$(n-1) \cdot 0,3 = 21,2 - 5$
$(n-1) \cdot 0,3 = 16,2$
$n-1 = \frac{16,2}{0,3}$
$n-1 = 54$
Теперь найдем $n$:
$n = 54 + 1$
$n = 55$
Поскольку $n = 55$ является натуральным числом, число $b=21,2$ является членом данной арифметической прогрессии.
Ответ: Да, является. Номер этого члена — 55.

б)

Дано: $a_1 = 3$, $d = -0,35$, $b = 0,65$.
Подставим значения в формулу:
$0,65 = 3 + (n-1) \cdot (-0,35)$
$(n-1) \cdot (-0,35) = 0,65 - 3$
$(n-1) \cdot (-0,35) = -2,35$
$n-1 = \frac{-2,35}{-0,35}$
$n-1 = \frac{235}{35} = \frac{47}{7}$
Так как $n-1 = \frac{47}{7}$ не является целым числом, то и $n = \frac{47}{7} + 1 = \frac{54}{7}$ не является натуральным числом. Следовательно, число $b=0,65$ не является членом данной прогрессии.
Ответ: Нет, не является.

в)

Дано: $a_1 = -7$, $d = 5,1$, $b = 44$.
Подставим значения в формулу:
$44 = -7 + (n-1) \cdot 5,1$
$(n-1) \cdot 5,1 = 44 - (-7)$
$(n-1) \cdot 5,1 = 51$
$n-1 = \frac{51}{5,1}$
$n-1 = 10$
$n = 10 + 1$
$n = 11$
Поскольку $n = 11$ является натуральным числом, число $b=44$ является членом данной арифметической прогрессии.
Ответ: Да, является. Номер этого члена — 11.

г)

Дано: $a_1 = -0,13$, $d = 0,02$, $b = -0,01$.
Подставим значения в формулу:
$-0,01 = -0,13 + (n-1) \cdot 0,02$
$(n-1) \cdot 0,02 = -0,01 - (-0,13)$
$(n-1) \cdot 0,02 = 0,12$
$n-1 = \frac{0,12}{0,02}$
$n-1 = 6$
$n = 6 + 1$
$n = 7$
Поскольку $n = 7$ является натуральным числом, число $b=-0,01$ является членом данной арифметической прогрессии.
Ответ: Да, является. Номер этого члена — 7.