Номер 16.30, страница 101, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

16.30 Сумма первого и пятого членов возрастающей арифметической прогрессии равна 14, а произведение второго и четвёртого её членов равно 45. Найдите шестой член этой прогрессии.

Пусть $a_1$ — первый член возрастающей арифметической прогрессии, а $d$ — её разность. По условию, прогрессия является возрастающей, следовательно, $d > 0$.Формула для n-го члена арифметической прогрессии имеет вид: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Из условия задачи известно, что сумма первого и пятого членов равна 14:$a_1 + a_5 = 14$Используя формулу n-го члена, выразим $a_5$ через $a_1$ и $d$:$a_5 = a_1 + (5-1)d = a_1 + 4d$Подставим это в уравнение:$a_1 + (a_1 + 4d) = 14$$2a_1 + 4d = 14$Разделив обе части на 2, получим:$a_1 + 2d = 7$Заметим, что выражение $a_1 + 2d$ является третьим членом прогрессии, $a_3$. Таким образом, $a_3 = 7$.

Второе условие задачи — произведение второго и четвёртого членов равно 45:$a_2 \cdot a_4 = 45$Выразим второй и четвёртый члены через $a_3$ и $d$:$a_2 = a_3 - d = 7 - d$$a_4 = a_3 + d = 7 + d$Подставим эти выражения в уравнение:$(7 - d)(7 + d) = 45$Применим формулу разности квадратов:$7^2 - d^2 = 45$$49 - d^2 = 45$$d^2 = 49 - 45$$d^2 = 4$Отсюда $d = 2$ или $d = -2$.

Поскольку прогрессия возрастающая, её разность должна быть положительной, поэтому выбираем $d = 2$.

Теперь найдём первый член прогрессии $a_1$, используя ранее полученное соотношение $a_1 + 2d = 7$:$a_1 + 2(2) = 7$$a_1 + 4 = 7$$a_1 = 3$

Наконец, найдём шестой член прогрессии $a_6$:$a_6 = a_1 + (6-1)d = a_1 + 5d$Подставим найденные значения $a_1 = 3$ и $d = 2$:$a_6 = 3 + 5(2) = 3 + 10 = 13$

Ответ: 13