Номер 16.36, страница 102, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

16.36 Найдите сумму первых $n$ членов арифметической прогрессии $(a_n)$, если известно, что:

а) $a_1 = -3, d = 1,5, n = 16;$

б) $a_1 = 121, d = -3,1, n = 25;$

в) $a_1 = -2,5, d = -0,5, n = 40;$

г) $a_1 = 4,5, d = 0,4, n = 100.$

Для нахождения суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии $(a_n)$ используется формула:

$$S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$$

где $a_1$ — первый член прогрессии, $d$ — разность прогрессии, $n$ — количество членов.

а)

Дано: $a_1 = -3$, $d = 1,5$, $n = 16$.

Подставим известные значения в формулу суммы:

$$S_{16} = \frac{2 \cdot (-3) + 1,5 \cdot (16-1)}{2} \cdot 16$$

$$S_{16} = \frac{-6 + 1,5 \cdot 15}{2} \cdot 16$$

$$S_{16} = \frac{-6 + 22,5}{2} \cdot 16$$

$$S_{16} = \frac{16,5}{2} \cdot 16$$

$$S_{16} = 16,5 \cdot 8 = 132$$

Ответ: 132.

б)

Дано: $a_1 = 121$, $d = -3,1$, $n = 25$.

Подставим известные значения в формулу суммы:

$$S_{25} = \frac{2 \cdot 121 + (-3,1) \cdot (25-1)}{2} \cdot 25$$

$$S_{25} = \frac{242 - 3,1 \cdot 24}{2} \cdot 25$$

$$S_{25} = \frac{242 - 74,4}{2} \cdot 25$$

$$S_{25} = \frac{167,6}{2} \cdot 25$$

$$S_{25} = 83,8 \cdot 25 = 2095$$

Ответ: 2095.

в)

Дано: $a_1 = -2,5$, $d = -0,5$, $n = 40$.

Подставим известные значения в формулу суммы:

$$S_{40} = \frac{2 \cdot (-2,5) + (-0,5) \cdot (40-1)}{2} \cdot 40$$

$$S_{40} = (2 \cdot (-2,5) + (-0,5) \cdot 39) \cdot \frac{40}{2}$$

$$S_{40} = (-5 - 19,5) \cdot 20$$

$$S_{40} = -24,5 \cdot 20 = -490$$

Ответ: -490.

г)

Дано: $a_1 = 4,5$, $d = 0,4$, $n = 100$.

Подставим известные значения в формулу суммы:

$$S_{100} = \frac{2 \cdot 4,5 + 0,4 \cdot (100-1)}{2} \cdot 100$$

$$S_{100} = (2 \cdot 4,5 + 0,4 \cdot 99) \cdot \frac{100}{2}$$

$$S_{100} = (9 + 39,6) \cdot 50$$

$$S_{100} = 48,6 \cdot 50 = 2430$$

Ответ: 2430.