Номер 16.29, страница 101, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

16.29 Укажите наименьший номер, начиная с которого все члены заданной арифметической прогрессии ($a_n$) будут больше заданного числа $A$:

a) $a_1 = -12, d = 3, A = 141;$

б) $a_1 = 4, d = 2,2, A = 14,7;$

в) $a_1 = -4,5, d = 5,5, A = 0;$

г) $a_1 = 14,5, d = 0,7, A = 22,9.$

Для решения задачи воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$. Нам нужно найти наименьший номер $n$, для которого выполняется неравенство $a_n > A$. Подставив формулу n-го члена в неравенство, получим: $a_1 + (n-1)d > A$. Решим это неравенство для каждого случая.

а) Дано: $a_1 = -12$, $d = 3$, $A = 141$.

Составим и решим неравенство:

$-12 + (n-1) \cdot 3 > 141$

$3(n-1) > 141 + 12$

$3(n-1) > 153$

$n-1 > \frac{153}{3}$

$n-1 > 51$

$n > 52$

Поскольку $n$ — это номер члена прогрессии, оно должно быть натуральным числом. Наименьшее натуральное число, которое больше 52, — это 53.

Ответ: 53.

б) Дано: $a_1 = 4$, $d = 2,2$, $A = 14,7$.

Составим и решим неравенство:

$4 + (n-1) \cdot 2,2 > 14,7$

$2,2(n-1) > 14,7 - 4$

$2,2(n-1) > 10,7$

$n-1 > \frac{10,7}{2,2}$

$n-1 > \frac{107}{22}$

$n-1 > 4,863...$

$n > 5,863...$

Наименьшее натуральное число $n$, удовлетворяющее этому неравенству, — это 6.

Ответ: 6.

в) Дано: $a_1 = -4,5$, $d = 5,5$, $A = 0$.

Составим и решим неравенство:

$-4,5 + (n-1) \cdot 5,5 > 0$

$5,5(n-1) > 4,5$

$n-1 > \frac{4,5}{5,5}$

$n-1 > \frac{45}{55}$

$n-1 > \frac{9}{11}$

$n-1 > 0,818...$

$n > 1,818...$

Наименьшее натуральное число $n$, удовлетворяющее этому неравенству, — это 2.

Ответ: 2.

г) Дано: $a_1 = 14,5$, $d = 0,7$, $A = 22,9$.

Составим и решим неравенство:

$14,5 + (n-1) \cdot 0,7 > 22,9$

$0,7(n-1) > 22,9 - 14,5$

$0,7(n-1) > 8,4$

$n-1 > \frac{8,4}{0,7}$

$n-1 > 12$

$n > 13$

Наименьшее натуральное число $n$, которое больше 13, — это 14.

Ответ: 14.