Страница 101, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

16.28 Укажите наименьший номер, начиная с которого все члены заданной арифметической прогрессии $(a_n)$ будут меньше заданного числа $A$:

а) 2, 1,9, 1,8, 1,7, ..., $A = 0$;

б) 15,9, 15,5, 15,1, ..., $A = 0,9$;

в) 110, 100, 90, ..., $A = 15$;

г) $-1$, $-1,75$, $-2,5$, ..., $A = -16,3$.

а) Для арифметической прогрессии $2, 1.9, 1.8, 1.7, \dots$ первый член $a_1 = 2$, а второй $a_2 = 1.9$. Найдем разность прогрессии $d = a_2 - a_1 = 1.9 - 2 = -0.1$.
Нам нужно найти наименьший номер $n$, начиная с которого все члены прогрессии $a_n$ будут меньше заданного числа $A=0$. Это означает, что мы должны решить неравенство $a_n < 0$.
Используем формулу n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Подставим известные значения и решим неравенство:
$2 + (n-1)(-0.1) < 0$
$2 - 0.1(n-1) < 0$
$2 < 0.1(n-1)$
Разделим обе части на 0.1:
$20 < n-1$
$21 < n$
Наименьшее натуральное число $n$, удовлетворяющее этому неравенству, это 22. Так как разность прогрессии отрицательна ($d < 0$), последовательность является убывающей, и все члены с номерами, большими или равными 22, будут меньше 0.
Ответ: 22.

б) Для арифметической прогрессии $15.9, 15.5, 15.1, \dots$ первый член $a_1 = 15.9$, а разность $d = 15.5 - 15.9 = -0.4$.
Нам нужно найти наименьший номер $n$, для которого $a_n < A$, где $A=0.9$.
Составим и решим неравенство:
$a_1 + (n-1)d < 0.9$
$15.9 + (n-1)(-0.4) < 0.9$
$15.9 - 0.4(n-1) < 0.9$
$15.9 - 0.9 < 0.4(n-1)$
$15 < 0.4(n-1)$
Разделим обе части на 0.4:
$37.5 < n-1$
$38.5 < n$
Наименьшее натуральное число $n$, удовлетворяющее этому неравенству, это 39.
Ответ: 39.

в) Для арифметической прогрессии $110, 100, 90, \dots$ первый член $a_1 = 110$, а разность $d = 100 - 110 = -10$.
Нам нужно найти наименьший номер $n$, для которого $a_n < A$, где $A=15$.
Составим и решим неравенство:
$a_1 + (n-1)d < 15$
$110 + (n-1)(-10) < 15$
$110 - 10(n-1) < 15$
$110 - 15 < 10(n-1)$
$95 < 10(n-1)$
Разделим обе части на 10:
$9.5 < n-1$
$10.5 < n$
Наименьшее натуральное число $n$, удовлетворяющее этому неравенству, это 11.
Ответ: 11.

г) Для арифметической прогрессии $-1, -1.75, -2.5, \dots$ первый член $a_1 = -1$, а разность $d = -1.75 - (-1) = -0.75$.
Нам нужно найти наименьший номер $n$, для которого $a_n < A$, где $A=-16.3$.
Составим и решим неравенство:
$a_1 + (n-1)d < -16.3$
$-1 + (n-1)(-0.75) < -16.3$
$-1 - 0.75(n-1) < -16.3$
$-0.75(n-1) < -16.3 + 1$
$-0.75(n-1) < -15.3$
Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:
$0.75(n-1) > 15.3$
Разделим обе части на 0.75:
$n-1 > 15.3 / 0.75$
$n-1 > 20.4$
$n > 21.4$
Наименьшее натуральное число $n$, удовлетворяющее этому неравенству, это 22.
Ответ: 22.

16.29 Укажите наименьший номер, начиная с которого все члены заданной арифметической прогрессии ($a_n$) будут больше заданного числа $A$:

a) $a_1 = -12, d = 3, A = 141;$

б) $a_1 = 4, d = 2,2, A = 14,7;$

в) $a_1 = -4,5, d = 5,5, A = 0;$

г) $a_1 = 14,5, d = 0,7, A = 22,9.$

Для решения задачи воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$. Нам нужно найти наименьший номер $n$, для которого выполняется неравенство $a_n > A$. Подставив формулу n-го члена в неравенство, получим: $a_1 + (n-1)d > A$. Решим это неравенство для каждого случая.

а) Дано: $a_1 = -12$, $d = 3$, $A = 141$.

Составим и решим неравенство:

$-12 + (n-1) \cdot 3 > 141$

$3(n-1) > 141 + 12$

$3(n-1) > 153$

$n-1 > \frac{153}{3}$

$n-1 > 51$

$n > 52$

Поскольку $n$ — это номер члена прогрессии, оно должно быть натуральным числом. Наименьшее натуральное число, которое больше 52, — это 53.

Ответ: 53.

б) Дано: $a_1 = 4$, $d = 2,2$, $A = 14,7$.

Составим и решим неравенство:

$4 + (n-1) \cdot 2,2 > 14,7$

$2,2(n-1) > 14,7 - 4$

$2,2(n-1) > 10,7$

$n-1 > \frac{10,7}{2,2}$

$n-1 > \frac{107}{22}$

$n-1 > 4,863...$

$n > 5,863...$

Наименьшее натуральное число $n$, удовлетворяющее этому неравенству, — это 6.

Ответ: 6.

в) Дано: $a_1 = -4,5$, $d = 5,5$, $A = 0$.

Составим и решим неравенство:

$-4,5 + (n-1) \cdot 5,5 > 0$

$5,5(n-1) > 4,5$

$n-1 > \frac{4,5}{5,5}$

$n-1 > \frac{45}{55}$

$n-1 > \frac{9}{11}$

$n-1 > 0,818...$

$n > 1,818...$

Наименьшее натуральное число $n$, удовлетворяющее этому неравенству, — это 2.

Ответ: 2.

г) Дано: $a_1 = 14,5$, $d = 0,7$, $A = 22,9$.

Составим и решим неравенство:

$14,5 + (n-1) \cdot 0,7 > 22,9$

$0,7(n-1) > 22,9 - 14,5$

$0,7(n-1) > 8,4$

$n-1 > \frac{8,4}{0,7}$

$n-1 > 12$

$n > 13$

Наименьшее натуральное число $n$, которое больше 13, — это 14.

Ответ: 14.

16.30 Сумма первого и пятого членов возрастающей арифметической прогрессии равна 14, а произведение второго и четвёртого её членов равно 45. Найдите шестой член этой прогрессии.

Пусть $a_1$ — первый член возрастающей арифметической прогрессии, а $d$ — её разность. По условию, прогрессия является возрастающей, следовательно, $d > 0$.Формула для n-го члена арифметической прогрессии имеет вид: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Из условия задачи известно, что сумма первого и пятого членов равна 14:$a_1 + a_5 = 14$Используя формулу n-го члена, выразим $a_5$ через $a_1$ и $d$:$a_5 = a_1 + (5-1)d = a_1 + 4d$Подставим это в уравнение:$a_1 + (a_1 + 4d) = 14$$2a_1 + 4d = 14$Разделив обе части на 2, получим:$a_1 + 2d = 7$Заметим, что выражение $a_1 + 2d$ является третьим членом прогрессии, $a_3$. Таким образом, $a_3 = 7$.

Второе условие задачи — произведение второго и четвёртого членов равно 45:$a_2 \cdot a_4 = 45$Выразим второй и четвёртый члены через $a_3$ и $d$:$a_2 = a_3 - d = 7 - d$$a_4 = a_3 + d = 7 + d$Подставим эти выражения в уравнение:$(7 - d)(7 + d) = 45$Применим формулу разности квадратов:$7^2 - d^2 = 45$$49 - d^2 = 45$$d^2 = 49 - 45$$d^2 = 4$Отсюда $d = 2$ или $d = -2$.

Поскольку прогрессия возрастающая, её разность должна быть положительной, поэтому выбираем $d = 2$.

Теперь найдём первый член прогрессии $a_1$, используя ранее полученное соотношение $a_1 + 2d = 7$:$a_1 + 2(2) = 7$$a_1 + 4 = 7$$a_1 = 3$

Наконец, найдём шестой член прогрессии $a_6$:$a_6 = a_1 + (6-1)d = a_1 + 5d$Подставим найденные значения $a_1 = 3$ и $d = 2$:$a_6 = 3 + 5(2) = 3 + 10 = 13$

Ответ: 13

16.31 Сумма второго и пятого членов арифметической прогрессии равна $a_2 + a_5 = 18$, а произведение второго и третьего её членов равно $a_2 \cdot a_3 = 21$. Запишите первые пять членов этой прогрессии, если известно, что третий её член — положительное число ($a_3 > 0$).

Обозначим члены арифметической прогрессии как $a_n$, где $n$ — номер члена. Пусть $a_1$ — первый член прогрессии, а $d$ — её разность.

Согласно условию, сумма второго и пятого членов равна 18. Запишем это в виде уравнения:
$a_2 + a_5 = 18$

Также по условию, произведение второго и третьего членов равно 21:
$a_2 \cdot a_3 = 21$

Используем формулу n-го члена арифметической прогрессии $a_n = a_1 + (n-1)d$. Выразим $a_2$, $a_3$ и $a_5$ через $a_1$ и $d$:
$a_2 = a_1 + d$
$a_3 = a_1 + 2d$
$a_5 = a_1 + 4d$

Подставим эти выражения в уравнения, полученные из условий задачи, и получим систему двух уравнений с двумя неизвестными:
$\begin{cases} (a_1 + d) + (a_1 + 4d) = 18 \\ (a_1 + d)(a_1 + 2d) = 21 \end{cases}$

Упростим первое уравнение системы:
$2a_1 + 5d = 18$

Выразим $a_1$ из этого уравнения:
$2a_1 = 18 - 5d$
$a_1 = \frac{18 - 5d}{2} = 9 - 2.5d$

Подставим полученное выражение для $a_1$ во второе уравнение системы:
$( (9 - 2.5d) + d ) \cdot ( (9 - 2.5d) + 2d ) = 21$
$(9 - 1.5d)(9 - 0.5d) = 21$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение относительно $d$:
$81 - 4.5d - 13.5d + 0.75d^2 = 21$
$0.75d^2 - 18d + 81 - 21 = 0$
$0.75d^2 - 18d + 60 = 0$

Для удобства умножим все члены уравнения на 4, чтобы избавиться от дроби, а затем разделим на 3 для упрощения:
$3d^2 - 72d + 240 = 0 \quad | :3$
$d^2 - 24d + 80 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения, например, по теореме Виета. Сумма корней равна 24, а их произведение равно 80. Этим условиям удовлетворяют числа 4 и 20.
$d_1 = 4$, $d_2 = 20$.

Теперь необходимо рассмотреть два возможных случая, чтобы найти тот, который удовлетворяет всем условиям задачи.

Случай 1: разность прогрессии $d = 4$.
Найдем первый член прогрессии $a_1$:
$a_1 = 9 - 2.5 \cdot 4 = 9 - 10 = -1$.
Проверим условие положительности третьего члена. Найдем $a_3$:
$a_3 = a_1 + 2d = -1 + 2 \cdot 4 = -1 + 8 = 7$.
Так как $a_3 = 7 > 0$, это решение удовлетворяет условию задачи.

Случай 2: разность прогрессии $d = 20$.
Найдем первый член прогрессии $a_1$:
$a_1 = 9 - 2.5 \cdot 20 = 9 - 50 = -41$.
Найдем $a_3$:
$a_3 = a_1 + 2d = -41 + 2 \cdot 20 = -41 + 40 = -1$.
Так как $a_3 = -1 < 0$, это решение не удовлетворяет условию задачи.

Таким образом, единственно возможный вариант — это прогрессия с $a_1 = -1$ и $d = 4$. Запишем её первые пять членов:
$a_1 = -1$
$a_2 = a_1 + d = -1 + 4 = 3$
$a_3 = a_2 + d = 3 + 4 = 7$
$a_4 = a_3 + d = 7 + 4 = 11$
$a_5 = a_4 + d = 11 + 4 = 15$

Ответ: -1, 3, 7, 11, 15.

16.32 Четыре числа являются последовательными членами арифметической прогрессии. Сумма первых трёх равна $-21$, а сумма трёх последних чисел равна $-6$. Найдите эти числа.

Пусть четыре последовательных члена арифметической прогрессии обозначаются как $a_1, a_2, a_3, a_4$. По определению арифметической прогрессии, каждый следующий член можно выразить через предыдущий, прибавив разность прогрессии $d$. Таким образом, мы можем выразить все четыре числа через первый член $a_1$ и разность $d$:

$a_1$
$a_2 = a_1 + d$
$a_3 = a_1 + 2d$
$a_4 = a_1 + 3d$

По условию задачи, сумма первых трёх членов равна -21. Запишем это в виде уравнения:

$a_1 + a_2 + a_3 = -21$

Подставим в это уравнение выражения для $a_2$ и $a_3$ через $a_1$ и $d$:

$a_1 + (a_1 + d) + (a_1 + 2d) = -21$

Упростим полученное выражение:

$3a_1 + 3d = -21$

Разделим обе части уравнения на 3:

$a_1 + d = -7$

Также по условию, сумма трёх последних чисел равна -6. Запишем второе уравнение:

$a_2 + a_3 + a_4 = -6$

Подставим в него выражения для $a_2, a_3$ и $a_4$:

$(a_1 + d) + (a_1 + 2d) + (a_1 + 3d) = -6$

Упростим это выражение:

$3a_1 + 6d = -6$

Разделим обе части уравнения на 3:

$a_1 + 2d = -2$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя неизвестными $a_1$ и $d$:

$$\begin{cases} a_1 + d = -7 \\ a_1 + 2d = -2 \end{cases}$$

Для решения системы вычтем первое уравнение из второго:

$(a_1 + 2d) - (a_1 + d) = -2 - (-7)$

$a_1 + 2d - a_1 - d = -2 + 7$

$d = 5$

Мы нашли разность прогрессии. Теперь подставим значение $d=5$ в первое уравнение системы, чтобы найти первый член $a_1$:

$a_1 + 5 = -7$

$a_1 = -7 - 5$

$a_1 = -12$

Итак, первый член прогрессии $a_1 = -12$, а её разность $d=5$. Теперь можем найти все четыре числа:

$a_1 = -12$
$a_2 = a_1 + d = -12 + 5 = -7$
$a_3 = a_1 + 2d = -12 + 2 \cdot 5 = -12 + 10 = -2$
$a_4 = a_1 + 3d = -12 + 3 \cdot 5 = -12 + 15 = 3$

Проверим найденные числа. Сумма первых трёх: $-12 + (-7) + (-2) = -21$. Сумма трёх последних: $-7 + (-2) + 3 = -6$. Условия задачи выполняются.

Ответ: -12, -7, -2, 3.

16.33 Найдите сумму $S_n$ членов конечной арифметической прогрессии $(a_n)$, если известны первый и последний её члены:

а) $a_1 = -1, a_{30} = 86;

б) $a_1 = 41, a_{20} = -16;

в) $a_1 = -13, a_{10} = -5;

г) $a_1 = 17, a_{25} = 31.

Для нахождения суммы $S_n$ членов конечной арифметической прогрессии используется формула, связывающая сумму с первым и последним членами прогрессии: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$, где $a_1$ — первый член, $a_n$ — n-ый (последний) член, а $n$ — количество членов.

а) Даны первый член $a_1 = -1$ и последний член $a_{30} = 86$. Количество членов прогрессии $n = 30$. Найдем сумму $S_{30}$:
$S_{30} = \frac{a_1 + a_{30}}{2} \cdot 30 = \frac{-1 + 86}{2} \cdot 30 = \frac{85}{2} \cdot 30 = 85 \cdot 15 = 1275$.
Ответ: 1275.

б) Даны первый член $a_1 = 41$ и последний член $a_{20} = -16$. Количество членов прогрессии $n = 20$. Найдем сумму $S_{20}$:
$S_{20} = \frac{a_1 + a_{20}}{2} \cdot 20 = \frac{41 + (-16)}{2} \cdot 20 = \frac{25}{2} \cdot 20 = 25 \cdot 10 = 250$.
Ответ: 250.

в) Даны первый член $a_1 = -13$ и последний член $a_{10} = -5$. Количество членов прогрессии $n = 10$. Найдем сумму $S_{10}$:
$S_{10} = \frac{a_1 + a_{10}}{2} \cdot 10 = \frac{-13 + (-5)}{2} \cdot 10 = \frac{-18}{2} \cdot 10 = -9 \cdot 10 = -90$.
Ответ: -90.

г) Даны первый член $a_1 = 17$ и последний член $a_{25} = 31$. Количество членов прогрессии $n = 25$. Найдем сумму $S_{25}$:
$S_{25} = \frac{a_1 + a_{25}}{2} \cdot 25 = \frac{17 + 31}{2} \cdot 25 = \frac{48}{2} \cdot 25 = 24 \cdot 25 = 600$.
Ответ: 600.

16.34 Найдите сумму первых пятидесяти членов арифметической про-

грессии $(a_n)$, если известно, что:

а) $a_1 = 2, a_{50} = 147;$

в) $a_1 = -10, a_{50} = 137;$

б) $a_1 = 0,5, a_{50} = -97,5;$

г) $a_1 = -1,7, a_{50} = -8,1.$

Для нахождения суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии используется формула, в которой известны первый и $n$-й члены прогрессии:

$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$

В данной задаче нам нужно найти сумму первых пятидесяти членов, то есть $n = 50$.

а)

Дано: $a_1 = 2$, $a_{50} = 147$.

Подставим эти значения в формулу для $S_{50}$:

$S_{50} = \frac{a_1 + a_{50}}{2} \cdot 50 = \frac{2 + 147}{2} \cdot 50 = \frac{149}{2} \cdot 50 = 149 \cdot 25 = 3725$.

Ответ: 3725

б)

Дано: $a_1 = 0,5$, $a_{50} = -97,5$.

Подставим эти значения в формулу для $S_{50}$:

$S_{50} = \frac{a_1 + a_{50}}{2} \cdot 50 = \frac{0,5 + (-97,5)}{2} \cdot 50 = \frac{-97}{2} \cdot 50 = -97 \cdot 25 = -2425$.

Ответ: -2425

в)

Дано: $a_1 = -10$, $a_{50} = 137$.

Подставим эти значения в формулу для $S_{50}$:

$S_{50} = \frac{a_1 + a_{50}}{2} \cdot 50 = \frac{-10 + 137}{2} \cdot 50 = \frac{127}{2} \cdot 50 = 127 \cdot 25 = 3175$.

Ответ: 3175

г)

Дано: $a_1 = -1,7$, $a_{50} = -8,1$.

Подставим эти значения в формулу для $S_{50}$:

$S_{50} = \frac{a_1 + a_{50}}{2} \cdot 50 = \frac{-1,7 + (-8,1)}{2} \cdot 50 = \frac{-9,8}{2} \cdot 50 = -4,9 \cdot 50 = -245$.

Ответ: -245