Страница 97, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

Определите, является ли приведённая ниже последовательность арифметической прогрессией:

16.1 a) $2, 4, 6, 8, 10, 12, \dots;$

б) $5, 5, 5, 5, 5, 5, \dots;$

в) $13, 10, 7, 4, 1, -2, \dots;$

г) $3, 1, 3, 1, 3, 1, \dots$

Арифметической прогрессией называется числовая последовательность $(a_n)$, в которой каждый следующий член, начиная со второго, получается из предыдущего прибавлением к нему одного и того же числа $d$, называемого разностью прогрессии. То есть, для любого натурального $n$ выполняется равенство $a_{n+1} = a_n + d$. Чтобы определить, является ли последовательность арифметической прогрессией, нужно проверить, является ли разность между любыми двумя соседними членами постоянной.

а) 2, 4, 6, 8, 10, 12, ...

Проверим разность между соседними членами последовательности:
$a_2 - a_1 = 4 - 2 = 2$
$a_3 - a_2 = 6 - 4 = 2$
$a_4 - a_3 = 8 - 6 = 2$
$a_5 - a_4 = 10 - 8 = 2$
$a_6 - a_5 = 12 - 10 = 2$

Разность между соседними членами постоянна и равна 2. Следовательно, данная последовательность является арифметической прогрессией.

Ответ: да, является.

б) 5, 5, 5, 5, 5, 5, ...

Проверим разность между соседними членами последовательности:
$a_2 - a_1 = 5 - 5 = 0$
$a_3 - a_2 = 5 - 5 = 0$
$a_4 - a_3 = 5 - 5 = 0$

Разность между соседними членами постоянна и равна 0. Такая последовательность (стационарная) также является арифметической прогрессией.

Ответ: да, является.

в) 13, 10, 7, 4, 1, -2, ...

Проверим разность между соседними членами последовательности:
$a_2 - a_1 = 10 - 13 = -3$
$a_3 - a_2 = 7 - 10 = -3$
$a_4 - a_3 = 4 - 7 = -3$
$a_5 - a_4 = 1 - 4 = -3$
$a_6 - a_5 = -2 - 1 = -3$

Разность между соседними членами постоянна и равна -3. Следовательно, данная последовательность является арифметической прогрессией.

Ответ: да, является.

г) 3, 1, 3, 1, 3, 1, ...

Проверим разность между соседними членами последовательности:
$a_2 - a_1 = 1 - 3 = -2$
$a_3 - a_2 = 3 - 1 = 2$

Так как разности $a_2 - a_1$ и $a_3 - a_2$ не равны ($-2 \neq 2$), разность между соседними членами не является постоянной. Следовательно, данная последовательность не является арифметической прогрессией.

Ответ: нет, не является.

16.2 a) -7, -5, -3, -1, 1, ...;

б) 3, 0, -3, -6, -8, ...;

B) $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}, ...$;

Г) 2, 7, 12, 17, 27, ....

а) -7, -5, -3, -1, 1, ...;

Для того чтобы определить закономерность в данной последовательности, найдем разность между последующими и предыдущими членами:
$a_2 - a_1 = -5 - (-7) = 2$
$a_3 - a_2 = -3 - (-5) = 2$
$a_4 - a_3 = -1 - (-3) = 2$
$a_5 - a_4 = 1 - (-1) = 2$

Разность между любыми двумя соседними членами постоянна и равна 2. Следовательно, эта последовательность является арифметической прогрессией.
Первый член прогрессии $a_1 = -7$.
Разность прогрессии $d = 2$.
Формула n-го члена арифметической прогрессии имеет вид: $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Подставив наши значения, получим: $a_n = -7 + (n-1) \cdot 2 = -7 + 2n - 2 = 2n - 9$.

Ответ: Данная последовательность является арифметической прогре

16.3 Найдите первый член и разность арифметической прогрессии:

а) 3, -1, -5, -9, ...;

б) 7, 4, 1, -2, ...;

в) 0.7, 0.9, 1.1, 1.3, ...;

г) -1, -0.9, -0.8, -0.7, ....

а) 3, -1, -5, -9, ...

Первый член арифметической прогрессии ($a_1$) — это первый элемент в данной последовательности. Таким образом, $a_1 = 3$.

Разность арифметической прогрессии ($d$) — это постоянное число, на которое каждый следующий член отличается от предыдущего. Чтобы найти разность, нужно из второго члена вычесть первый:

$d = a_2 - a_1 = -1 - 3 = -4$.

Для проверки убедимся, что разность между третьим и вторым членами такая же:

$a_3 - a_2 = -5 - (-1) = -5 + 1 = -4$.

Разность постоянна, значит, она найдена верно.

Ответ: первый член $a_1 = 3$, разность $d = -4$.

б) 7, 4, 1, -2, ...

Первый член прогрессии $a_1 = 7$.

Найдем разность прогрессии, вычтя из второго члена первый:

$d = a_2 - a_1 = 4 - 7 = -3$.

Проверим, вычтя из третьего члена второй:

$a_3 - a_2 = 1 - 4 = -3$.

Разность постоянна.

Ответ: первый член $a_1 = 7$, разность $d = -3$.

в) 0,7, 0,9, 1,1, 1,3, ...

Первый член прогрессии $a_1 = 0,7$.

Найдем разность прогрессии:

$d = a_2 - a_1 = 0,9 - 0,7 = 0,2$.

Проверка:

$a_3 - a_2 = 1,1 - 0,9 = 0,2$.

Разность постоянна.

Ответ: первый член $a_1 = 0,7$, разность $d = 0,2$.

г) -1, -0,9, -0,8, -0,7, ...

Первый член прогрессии $a_1 = -1$.

Найдем разность прогрессии:

$d = a_2 - a_1 = -0,9 - (-1) = -0,9 + 1 = 0,1$.

Проверка:

$a_3 - a_2 = -0,8 - (-0,9) = -0,8 + 0,9 = 0,1$.

Разность постоянна.

Ответ: первый член $a_1 = -1$, разность $d = 0,1$.

16.4 Выпишите первые шесть членов арифметической прогрессии ($a_n$), если.¹

а) $a_1 = 3, d = 7;$

б) $a_1 = 10, d = -2.5;$

в) $a_1 = -21, d = 3;$

г) $a_1 = -17.5, d = -0.5.$

Арифметическая прогрессия $(a_n)$ — это числовая последовательность, в которой каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же постоянным для данной последовательности числом $d$ (разностью прогрессии).

Для нахождения каждого следующего члена прогрессии используется формула $a_{n+1} = a_n + d$. Мы применим эту формулу для последовательного вычисления первых шести членов в каждом случае, зная первый член $a_1$ и разность $d$.

а)

Дано: $a_1 = 3$, $d = 7$.

Найдём первые шесть членов прогрессии:
$a_1 = 3$
$a_2 = a_1 + d = 3 + 7 = 10$
$a_3 = a_2 + d = 10 + 7 = 17$
$a_4 = a_3 + d = 17 + 7 = 24$
$a_5 = a_4 + d = 24 + 7 = 31$
$a_6 = a_5 + d = 31 + 7 = 38$

Ответ: 3; 10; 17; 24; 31; 38.

б)

Дано: $a_1 = 10$, $d = -2,5$.

Найдём первые шесть членов прогрессии:
$a_1 = 10$
$a_2 = a_1 + d = 10 + (-2,5) = 7,5$
$a_3 = a_2 + d = 7,5 + (-2,5) = 5$
$a_4 = a_3 + d = 5 + (-2,5) = 2,5$
$a_5 = a_4 + d = 2,5 + (-2,5) = 0$
$a_6 = a_5 + d = 0 + (-2,5) = -2,5$

Ответ: 10; 7,5; 5; 2,5; 0; -2,5.

в)

Дано: $a_1 = -21$, $d = 3$.

Найдём первые шесть членов прогрессии:
$a_1 = -21$
$a_2 = a_1 + d = -21 + 3 = -18$
$a_3 = a_2 + d = -18 + 3 = -15$
$a_4 = a_3 + d = -15 + 3 = -12$
$a_5 = a_4 + d = -12 + 3 = -9$
$a_6 = a_5 + d = -9 + 3 = -6$

Ответ: -21; -18; -15; -12; -9; -6.

г)

Дано: $a_1 = -17,5$, $d = -0,5$.

Найдём первые шесть членов прогрессии:
$a_1 = -17,5$
$a_2 = a_1 + d = -17,5 + (-0,5) = -18$
$a_3 = a_2 + d = -18 + (-0,5) = -18,5$
$a_4 = a_3 + d = -18,5 + (-0,5) = -19$
$a_5 = a_4 + d = -19 + (-0,5) = -19,5$
$a_6 = a_5 + d = -19,5 + (-0,5) = -20$

Ответ: -17,5; -18; -18,5; -19; -19,5; -20.

16.5 Запишите конечную арифметическую прогрессию $(a_n)$, заданную следующими условиями:

а) $a_1 = -2, d = 4, n = 5;$

б) $a_1 = 1, d = -0.1, n = 7;$

в) $a_1 = 2, d = 3, n = 6;$

г) $a_1 = -6, d = 1.5, n = 4.$

Арифметическая прогрессия $(a_n)$ — это числовая последовательность, в которой каждый следующий член, начиная со второго, получается прибавлением к предыдущему члену одного и того же числа $d$, называемого разностью прогрессии.

Чтобы найти все члены конечной арифметической прогрессии, мы начнём с первого члена $a_1$ и будем последовательно прибавлять разность $d$ для нахождения каждого следующего члена, используя формулу $a_{k+1} = a_k + d$.

а)

Даны условия: первый член $a_1 = -2$, разность $d = 4$ и количество членов $n = 5$.
Найдём все члены прогрессии:
$a_1 = -2$
$a_2 = a_1 + d = -2 + 4 = 2$
$a_3 = a_2 + d = 2 + 4 = 6$
$a_4 = a_3 + d = 6 + 4 = 10$
$a_5 = a_4 + d = 10 + 4 = 14$

Ответ: -2; 2; 6; 10; 14.

б)

Даны условия: первый член $a_1 = 1$, разность $d = -0,1$ и количество членов $n = 7$.
Найдём все члены прогрессии:
$a_1 = 1$
$a_2 = a_1 + d = 1 + (-0,1) = 0,9$
$a_3 = a_2 + d = 0,9 + (-0,1) = 0,8$
$a_4 = a_3 + d = 0,8 + (-0,1) = 0,7$
$a_5 = a_4 + d = 0,7 + (-0,1) = 0,6$
$a_6 = a_5 + d = 0,6 + (-0,1) = 0,5$
$a_7 = a_6 + d = 0,5 + (-0,1) = 0,4$

Ответ: 1; 0,9; 0,8; 0,7; 0,6; 0,5; 0,4.

в)

Даны условия: первый член $a_1 = 2$, разность $d = 3$ и количество членов $n = 6$.
Найдём все члены прогрессии:
$a_1 = 2$
$a_2 = a_1 + d = 2 + 3 = 5$
$a_3 = a_2 + d = 5 + 3 = 8$
$a_4 = a_3 + d = 8 + 3 = 11$
$a_5 = a_4 + d = 11 + 3 = 14$
$a_6 = a_5 + d = 14 + 3 = 17$

Ответ: 2; 5; 8; 11; 14; 17.

г)

Даны условия: первый член $a_1 = -6$, разность $d = 1,5$ и количество членов $n = 4$.
Найдём все члены прогрессии:
$a_1 = -6$
$a_2 = a_1 + d = -6 + 1,5 = -4,5$
$a_3 = a_2 + d = -4,5 + 1,5 = -3$
$a_4 = a_3 + d = -3 + 1,5 = -1,5$

Ответ: -6; -4,5; -3; -1,5.

16.6 а) $a_1 = \frac{3}{7}, d = \frac{1}{7}, n = 5;$

б) $a_1 = 13, d = -\sqrt{5}, n = 4;$

в) $a_1 = 7,5, d = 0,5, n = 4;$

г) $a_1 = -1,7, d = -0,15, n = 5.$

Для решения задачи воспользуемся определением арифметической прогрессии, согласно которому каждый следующий член прогрессии получается из предыдущего добавлением постоянного числа $d$ (разности прогрессии): $a_{k+1} = a_k + d$. Мы будем последовательно вычислять каждый член, начиная с заданного первого.

а) Дано: $a_1 = \frac{3}{7}$, $d = \frac{1}{7}$, $n = 5$.

Найдем первые пять членов прогрессии:

$a_1 = \frac{3}{7}$

$a_2 = a_1 + d = \frac{3}{7} + \frac{1}{7} = \frac{4}{7}$

$a_3 = a_2 + d = \frac{4}{7} + \frac{1}{7} = \frac{5}{7}$

$a_4 = a_3 + d = \frac{5}{7} + \frac{1}{7} = \frac{6}{7}$

$a_5 = a_4 + d = \frac{6}{7} + \frac{1}{7} = \frac{7}{7} = 1$

Ответ: $\frac{3}{7}, \frac{4}{7}, \frac{5}{7}, \frac{6}{7}, 1$.

б) Дано: $a_1 = 13$, $d = -\sqrt{5}$, $n = 4$.

Найдем первые четыре члена прогрессии:

$a_1 = 13$

$a_2 = a_1 + d = 13 + (-\sqrt{5}) = 13 - \sqrt{5}$

$a_3 = a_2 + d = (13 - \sqrt{5}) + (-\sqrt{5}) = 13 - 2\sqrt{5}$

$a_4 = a_3 + d = (13 - 2\sqrt{5}) + (-\sqrt{5}) = 13 - 3\sqrt{5}$

Ответ: $13, 13 - \sqrt{5}, 13 - 2\sqrt{5}, 13 - 3\sqrt{5}$.

в) Дано: $a_1 = 7,5$, $d = 0,5$, $n = 4$.

Найдем первые четыре члена прогрессии:

$a_1 = 7,5$

$a_2 = a_1 + d = 7,5 + 0,5 = 8$

$a_3 = a_2 + d = 8 + 0,5 = 8,5$

$a_4 = a_3 + d = 8,5 + 0,5 = 9$

Ответ: $7,5, 8, 8,5, 9$.

г) Дано: $a_1 = -1,7$, $d = -0,15$, $n = 5$.

Найдем первые пять членов прогрессии:

$a_1 = -1,7$

$a_2 = a_1 + d = -1,7 + (-0,15) = -1,85$

$a_3 = a_2 + d = -1,85 + (-0,15) = -2$

$a_4 = a_3 + d = -2 + (-0,15) = -2,15$

$a_5 = a_4 + d = -2,15 + (-0,15) = -2,3$

Ответ: $-1,7, -1,85, -2, -2,15, -2,3$.