Страница 91, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

Определите, является ли заданная функция числовой последовательностью:

15.1 а) $y = 2x - 1$, $x \in (0; +\infty)$;

б) $y = 2x - 1$, $x \in \mathbf{Q}$;

в) $y = 2x - 1$, $x \in \mathbf{Z}$;

г) $y = 2x - 1$, $x \in \mathbf{N}$.

Чтобы определить, является ли заданная функция числовой последовательностью, необходимо проверить ее область определения. По определению, числовая последовательность — это функция, область определения которой есть множество натуральных чисел $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, ...\}$.

а) В данном случае функция $y = 2x - 1$ определена для $x \in (0; +\infty)$. Область определения — это множество всех положительных действительных чисел. Это множество не совпадает с множеством натуральных чисел $\mathbb{N}$, так как оно включает в себя не только натуральные числа, но и дробные (например, 0.5, 1.25) и иррациональные (например, $\sqrt{2}$, $\pi$) числа. Следовательно, данная функция не является числовой последовательностью.

Ответ: не является.

б) Областью определения функции $y = 2x - 1$ является множество рациональных чисел $\mathbb{Q}$. Множество натуральных чисел $\mathbb{N}$ является собственным подмножеством множества $\mathbb{Q}$. Это означает, что в $\mathbb{Q}$ есть числа, которые не являются натуральными (например, $1/2$, $-5$, $0$). Так как область определения не является множеством натуральных чисел, эта функция не является числовой последовательностью.

Ответ: не является.

в) Здесь область определения — множество целых чисел $\mathbb{Z} = \{..., -2, -1, 0, 1, 2, ...\}$. Множество $\mathbb{Z}$ включает в себя натуральные числа, но также содержит 0 и отрицательные целые числа. Согласно стандартному определению, область определения числовой последовательности — это множество натуральных чисел $\mathbb{N}$. Поэтому данная функция не является числовой последовательностью.

Ответ: не является.

г) Областью определения функции $y = 2x - 1$ является множество натуральных чисел $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, ...\}$. Это в точности соответствует определению числовой последовательности. Каждому натуральному номеру $x$ (который в теории последовательностей обычно обозначают как $n$) ставится в соответствие единственный член последовательности $y$. Например, $y_1 = 2(1)-1=1$, $y_2 = 2(2)-1=3$, $y_3 = 2(3)-1=5$ и т.д. Эта функция задает последовательность нечетных натуральных чисел.

Ответ: является.

15.2 а) $y = \frac{2x + 1}{x}$, $x \in (0; +\infty)$;

б) $y = \frac{2x - 1}{x^2 + 1}$, $x \in \mathbb{Q}$;

в) $y = \frac{2x - 1}{x^2 + 1}$, $x \in \mathbb{Z}$;

г) $y = \frac{2x + 1}{x}$, $x \in \mathbb{N}$.

а)

Дана функция $y = \frac{2x + 1}{x}$ с областью определения $x \in (0; +\infty)$.

Преобразуем выражение для функции: $y = \frac{2x}{x} + \frac{1}{x} = 2 + \frac{1}{x}$.

Рассмотрим поведение функции на заданном интервале. Область определения $x \in (0; +\infty)$ означает, что $x > 0$.

1. Когда $x$ стремится к $0$ справа ($x \to 0^+$), величина $\frac{1}{x}$ стремится к $+\infty$.
Следовательно, $y = 2 + \frac{1}{x}$ стремится к $2 + (+\infty)$, то есть $y \to +\infty$.

2. Когда $x$ стремится к $+\infty$ ($x \to +\infty$), величина $\frac{1}{x}$ стремится к $0$.
Следовательно, $y = 2 + \frac{1}{x}$ стремится к $2 + 0$, то есть $y \to 2$.

Функция $f(x) = \frac{1}{x}$ является непрерывной и строго убывающей на интервале $(0; +\infty)$. Поэтому функция $y = 2 + \frac{1}{x}$ также является непрерывной и строго убывающей на этом интервале.

Поскольку функция убывает от $+\infty$ до $2$ на интервале $(0; +\infty)$, ее множество значений (область значений) — это интервал $(2; +\infty)$. Значение $2$ является точной нижней гранью, но не достигается ни при каком конечном $x > 0$.

Ответ: $E(y) = (2; +\infty)$.

б)

Дана функция $y = \frac{2x - 1}{x^2 + 1}$ с областью определения $x \in \mathbb{Q}$ (множество рациональных чисел).

Для нахождения множества значений данной функции сначала найдем ее область значений для $x \in \mathbb{R}$ (множество действительных чисел), так как множество рациональных чисел $\mathbb{Q}$ плотно в $\mathbb{R}$.

Пусть $y$ — некоторое значение функции. Тогда уравнение $y = \frac{2x - 1}{x^2 + 1}$ должно иметь хотя бы одно действительное решение для $x$.
Преобразуем уравнение: $y(x^2 + 1) = 2x - 1$ $yx^2 + y = 2x - 1$ $yx^2 - 2x + (y + 1) = 0$

Это квадратное уравнение относительно $x$. Оно имеет действительные решения, если его дискриминант $D$ неотрицателен ($D \ge 0$). $D = (-2)^2 - 4 \cdot y \cdot (y + 1) = 4 - 4y^2 - 4y$.

Решим неравенство $D \ge 0$: $4 - 4y^2 - 4y \ge 0$ Разделим обе части на $-4$ и сменим знак неравенства: $y^2 + y - 1 \le 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $y^2 + y - 1 = 0$ по формуле: $y = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-1)}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$.

Парабола $f(y) = y^2 + y - 1$ ветвями вверх, поэтому неравенство $y^2 + y - 1 \le 0$ выполняется между корнями. Таким образом, для $x \in \mathbb{R}$ множество значений функции есть отрезок $[\frac{-1 - \sqrt{5}}{2}, \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}]$.

Поскольку исходная область определения $x \in \mathbb{Q}$, множество значений функции будет состоять только из тех рациональных чисел $y$ из найденного отрезка, для которых уравнение $yx^2 - 2x + (y + 1) = 0$ имеет рациональные корни. Это множество значений является плотным подмножеством отрезка $[\frac{-1 - \sqrt{5}}{2}, \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}]$. В рамках школьной программы обычно в качестве ответа принимается найденный для действительных чисел отрезок.

Ответ: $E(y) = [\frac{-1 - \sqrt{5}}{2}, \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}]$.

в)

Дана функция $y = \frac{2x - 1}{x^2 + 1}$ с областью определения $x \in \mathbb{Z}$ (множество целых чисел).

Множество значений будет дискретным. Для его нахождения исследуем поведение функции. Из решения пункта б) мы знаем, что производная функции $y'(x) = \frac{-2(x^2 - x - 1)}{(x^2 + 1)^2}$.
Корни производной: $x_1 = \frac{1 - \sqrt{5}}{2} \approx -0.618$ и $x_2 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1.618$.

- При $x < x_1 \approx -0.618$ функция убывает. - При $x_1 < x < x_2$ (т.е. $\approx -0.618 < x < \approx 1.618$) функция возрастает. - При $x > x_2 \approx 1.618$ функция убывает.

Вычислим значения функции в целых точках, близких к точкам экстремума, и на границах интервалов монотонности:

Точка минимума $x_1 \approx -0.618$ находится между целыми числами $-1$ и $0$. $y(-1) = \frac{2(-1) - 1}{(-1)^2 + 1} = \frac{-3}{2} = -1.5$. $y(0) = \frac{2(0) - 1}{0^2 + 1} = \frac{-1}{1} = -1$.

Точка максимума $x_2 \approx 1.618$ находится между целыми числами $1$ и $2$. $y(1) = \frac{2(1) - 1}{1^2 + 1} = \frac{1}{2} = 0.5$. $y(2) = \frac{2(2) - 1}{2^2 + 1} = \frac{3}{5} = 0.6$.

Рассмотрим поведение функции при $x \to \pm\infty$. $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{2x - 1}{x^2 + 1} = 0$.

Соберем все данные. - Для $x \ge 2$ (где функция убывает): $y(2)=0.6, y(3)=0.5, y(4)=7/17, \dots$ Значения убывают, стремясь к 0. Максимум в этой части $y(2)=0.6$. - Для $x \le -1$ (где функция убывает): $y(-1)=-1.5, y(-2)=-1, y(-3)=-0.7, \dots$ Значения возрастают, стремясь к 0. Минимум в этой части $y(-1)=-1.5$. - Значения в точках $x=0$ и $x=1$ мы уже нашли: $y(0)=-1, y(1)=0.5$.

Сравнивая все вычисленные значения, находим наименьшее и наибольшее значения функции на множестве целых чисел: $y_{min} = y(-1) = -1.5$. $y_{max} = y(2) = 0.6$.

Таким образом, множество значений функции — это дискретное множество $E = \{ \frac{2n - 1}{n^2 + 1} \mid n \in \mathbb{Z} \}$, все элементы которого лежат в отрезке $[-1.5, 0.6]$.

Ответ: Множество значений есть $E(y) = \{y \mid y = \frac{2n - 1}{n^2 + 1}, n \in \mathbb{Z}\}$. Наименьшее значение функции равно $-1.5$, наибольшее значение равно $0.6$.

г)

Дана функция $y = \frac{2x + 1}{x}$ с областью определения $x \in \mathbb{N}$ (множество натуральных чисел, $x=1, 2, 3, \dots$).

Как и в пункте а), преобразуем функцию: $y = 2 + \frac{1}{x}$.

Область определения — натуральные числа. Рассмотрим значения функции для первых нескольких натуральных $x$: $y(1) = 2 + \frac{1}{1} = 3$. $y(2) = 2 + \frac{1}{2} = 2.5$. $y(3) = 2 + \frac{1}{3} = \frac{7}{3} \approx 2.33$.

Поскольку с ростом натурального $x$ значение дроби $\frac{1}{x}$ уменьшается, последовательность значений $y(x)$ является строго убывающей.

Наибольшее значение достигается при наименьшем возможном значении $x$, то есть при $x=1$: $y_{max} = y(1) = 3$.

При $x \to \infty$, значение $\frac{1}{x} \to 0$, следовательно $y \to 2$. Число $2$ является точной нижней гранью (инфимумом) множества значений, но не достигается ни при каком натуральном $x$.

Множество значений функции — это убывающая последовательность, начинающаяся с $3$ и стремящаяся к $2$. $E(y) = \{3, \frac{5}{2}, \frac{7}{3}, \frac{9}{4}, \dots, 2 + \frac{1}{n}, \dots \}$.

Ответ: $E(y) = \{ y \mid y = 2 + \frac{1}{n}, n \in \mathbb{N} \}$. Множество значений представляет собой убывающую последовательность, ограниченную сверху числом $3$ (которое является максимумом) и снизу числом $2$ (которое является инфимумом).

15.3 Составьте математическую модель следующей задачи. Сосулька тает со скоростью 5 капель в мин. Сколько капель упадет на землю через 1 мин, 2 мин, 3 мин, 17 мин и т. д. от начала таяния сосульки? Является ли эта математическая модель числовой последовательностью?

Составьте математическую модель следующей задачи. Сосулька тает со скоростью 5 капель в мин. Сколько капель упадёт на землю через 1 мин, 2 мин, 3 мин, 17 мин и т. д. от начала таяния сосульки?
Для составления математической модели введем переменные. Пусть $t$ — это время в минутах, прошедшее с начала таяния, а $N(t)$ — количество капель, упавших за это время.
Согласно условию задачи, скорость таяния постоянна и равна 5 капель в минуту. Это означает, что количество упавших капель прямо пропорционально времени. Математическая модель, описывающая этот процесс, представляет собой линейную функцию:
$N(t) = 5 \cdot t$
С помощью этой формулы можно найти количество капель, упавших за любой промежуток времени $t$.
Рассчитаем количество капель для указанных в задаче моментов времени:
- Через 1 минуту: $N(1) = 5 \cdot 1 = 5$ капель.
- Через 2 минуты: $N(2) = 5 \cdot 2 = 10$ капель.
- Через 3 минуты: $N(3) = 5 \cdot 3 = 15$ капель.
- Через 17 минут: $N(17) = 5 \cdot 17 = 85$ капель.
Ответ: Математическая модель зависимости количества капель $N$ от времени $t$ (в минутах) выражается формулой $N(t) = 5t$. Через 1, 2, 3 и 17 минут упадёт соответственно 5, 10, 15 и 85 капель.

Является ли эта математическая модель числовой последовательностью?
Да, данную математическую модель можно рассматривать как числовую последовательность, если мы будем фиксировать количество капель в дискретные моменты времени, например, в конце каждой минуты.
Пусть $n$ — это порядковый номер минуты (натуральное число, $n \in \{1, 2, 3, \ldots\}$), а $a_n$ — общее количество капель, упавшее за $n$ минут. Тогда зависимость можно описать формулой $n$-го члена последовательности:
$a_n = 5n$
Эта формула задает числовую последовательность, так как каждому натуральному числу $n$ ставится в соответствие определённое число $a_n$. Ряд значений $5, 10, 15, 20, \ldots$ является числовой последовательностью. Более того, это арифметическая прогрессия, у которой первый член $a_1 = 5$ и разность $d = 5$.
Ответ: Да, является.