Номер 15.3, страница 91, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

15.3 Составьте математическую модель следующей задачи. Сосулька тает со скоростью 5 капель в мин. Сколько капель упадет на землю через 1 мин, 2 мин, 3 мин, 17 мин и т. д. от начала таяния сосульки? Является ли эта математическая модель числовой последовательностью?

Составьте математическую модель следующей задачи. Сосулька тает со скоростью 5 капель в мин. Сколько капель упадёт на землю через 1 мин, 2 мин, 3 мин, 17 мин и т. д. от начала таяния сосульки?
Для составления математической модели введем переменные. Пусть $t$ — это время в минутах, прошедшее с начала таяния, а $N(t)$ — количество капель, упавших за это время.
Согласно условию задачи, скорость таяния постоянна и равна 5 капель в минуту. Это означает, что количество упавших капель прямо пропорционально времени. Математическая модель, описывающая этот процесс, представляет собой линейную функцию:
$N(t) = 5 \cdot t$
С помощью этой формулы можно найти количество капель, упавших за любой промежуток времени $t$.
Рассчитаем количество капель для указанных в задаче моментов времени:
- Через 1 минуту: $N(1) = 5 \cdot 1 = 5$ капель.
- Через 2 минуты: $N(2) = 5 \cdot 2 = 10$ капель.
- Через 3 минуты: $N(3) = 5 \cdot 3 = 15$ капель.
- Через 17 минут: $N(17) = 5 \cdot 17 = 85$ капель.
Ответ: Математическая модель зависимости количества капель $N$ от времени $t$ (в минутах) выражается формулой $N(t) = 5t$. Через 1, 2, 3 и 17 минут упадёт соответственно 5, 10, 15 и 85 капель.

Является ли эта математическая модель числовой последовательностью?
Да, данную математическую модель можно рассматривать как числовую последовательность, если мы будем фиксировать количество капель в дискретные моменты времени, например, в конце каждой минуты.
Пусть $n$ — это порядковый номер минуты (натуральное число, $n \in \{1, 2, 3, \ldots\}$), а $a_n$ — общее количество капель, упавшее за $n$ минут. Тогда зависимость можно описать формулой $n$-го члена последовательности:
$a_n = 5n$
Эта формула задает числовую последовательность, так как каждому натуральному числу $n$ ставится в соответствие определённое число $a_n$. Ряд значений $5, 10, 15, 20, \ldots$ является числовой последовательностью. Более того, это арифметическая прогрессия, у которой первый член $a_1 = 5$ и разность $d = 5$.
Ответ: Да, является.