Номер 15.1, страница 91, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

Определите, является ли заданная функция числовой последовательностью:

15.1 а) $y = 2x - 1$, $x \in (0; +\infty)$;

б) $y = 2x - 1$, $x \in \mathbf{Q}$;

в) $y = 2x - 1$, $x \in \mathbf{Z}$;

г) $y = 2x - 1$, $x \in \mathbf{N}$.

Чтобы определить, является ли заданная функция числовой последовательностью, необходимо проверить ее область определения. По определению, числовая последовательность — это функция, область определения которой есть множество натуральных чисел $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, ...\}$.

а) В данном случае функция $y = 2x - 1$ определена для $x \in (0; +\infty)$. Область определения — это множество всех положительных действительных чисел. Это множество не совпадает с множеством натуральных чисел $\mathbb{N}$, так как оно включает в себя не только натуральные числа, но и дробные (например, 0.5, 1.25) и иррациональные (например, $\sqrt{2}$, $\pi$) числа. Следовательно, данная функция не является числовой последовательностью.

Ответ: не является.

б) Областью определения функции $y = 2x - 1$ является множество рациональных чисел $\mathbb{Q}$. Множество натуральных чисел $\mathbb{N}$ является собственным подмножеством множества $\mathbb{Q}$. Это означает, что в $\mathbb{Q}$ есть числа, которые не являются натуральными (например, $1/2$, $-5$, $0$). Так как область определения не является множеством натуральных чисел, эта функция не является числовой последовательностью.

Ответ: не является.

в) Здесь область определения — множество целых чисел $\mathbb{Z} = \{..., -2, -1, 0, 1, 2, ...\}$. Множество $\mathbb{Z}$ включает в себя натуральные числа, но также содержит 0 и отрицательные целые числа. Согласно стандартному определению, область определения числовой последовательности — это множество натуральных чисел $\mathbb{N}$. Поэтому данная функция не является числовой последовательностью.

Ответ: не является.

г) Областью определения функции $y = 2x - 1$ является множество натуральных чисел $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, ...\}$. Это в точности соответствует определению числовой последовательности. Каждому натуральному номеру $x$ (который в теории последовательностей обычно обозначают как $n$) ставится в соответствие единственный член последовательности $y$. Например, $y_1 = 2(1)-1=1$, $y_2 = 2(2)-1=3$, $y_3 = 2(3)-1=5$ и т.д. Эта функция задает последовательность нечетных натуральных чисел.

Ответ: является.