Номер 4, страница 89, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

4 Используя свойства числовых неравенств, исследуйте на монотонность функцию $y = -x^4 - x^2 + 8$, $x \in [0; +\infty)$.

Для исследования функции $y = -x^4 - x^2 + 8$ на монотонность на промежутке $x \in [0; +\infty)$ воспользуемся определением монотонной функции и свойствами числовых неравенств.

Функция называется убывающей на некотором промежутке, если для любых двух значений аргумента $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, таких что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $y(x_1) > y(x_2)$.

Возьмем два произвольных числа $x_1$ и $x_2$ из области определения $x \in [0; +\infty)$ так, чтобы выполнялось условие $0 \le x_1 < x_2$.

Найдем значения функции в этих точках:

$y(x_1) = -x_1^4 - x_1^2 + 8$

$y(x_2) = -x_2^4 - x_2^2 + 8$

Чтобы сравнить значения $y(x_1)$ и $y(x_2)$, составим и проанализируем их разность $y(x_2) - y(x_1)$:

$y(x_2) - y(x_1) = (-x_2^4 - x_2^2 + 8) - (-x_1^4 - x_1^2 + 8)$

$y(x_2) - y(x_1) = -x_2^4 - x_2^2 + 8 + x_1^4 + x_1^2 - 8$

Сгруппируем слагаемые:

$y(x_2) - y(x_1) = (x_1^4 - x_2^4) + (x_1^2 - x_2^2)$

Разложим выражения в скобках на множители, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$x_1^4 - x_2^4 = (x_1^2 - x_2^2)(x_1^2 + x_2^2)$

Подставим это в выражение для разности:

$y(x_2) - y(x_1) = (x_1^2 - x_2^2)(x_1^2 + x_2^2) + (x_1^2 - x_2^2)$

Вынесем общий множитель $(x_1^2 - x_2^2)$ за скобки:

$y(x_2) - y(x_1) = (x_1^2 - x_2^2)(x_1^2 + x_2^2 + 1)$

Снова применим формулу разности квадратов для первого множителя:

$y(x_2) - y(x_1) = (x_1 - x_2)(x_1 + x_2)(x_1^2 + x_2^2 + 1)$

Теперь определим знак каждого множителя в полученном произведении, учитывая исходное условие $0 \le x_1 < x_2$.

1. Множитель $(x_1 - x_2)$. Так как по условию $x_1 < x_2$, то разность $x_1 - x_2$ будет отрицательной: $x_1 - x_2 < 0$.

2. Множитель $(x_1 + x_2)$. Так как $x_1 \ge 0$ и $x_2 > x_1 \ge 0$, то $x_2 > 0$. Сумма неотрицательного и положительного числа является положительным числом: $x_1 + x_2 > 0$.

3. Множитель $(x_1^2 + x_2^2 + 1)$. Так как $x_1^2 \ge 0$ и $x_2^2 > 0$, то их сумма $x_1^2 + x_2^2 > 0$. Прибавив 1, мы получим строго положительное число: $x_1^2 + x_2^2 + 1 > 1$.

Теперь определим знак всего произведения:

$y(x_2) - y(x_1) = \underbrace{(x_1 - x_2)}_{<0} \cdot \underbrace{(x_1 + x_2)}_{>0} \cdot \underbrace{(x_1^2 + x_2^2 + 1)}_{>0}$

Произведение отрицательного множителя на два положительных дает отрицательный результат:

$y(x_2) - y(x_1) < 0$

Из этого неравенства следует, что $y(x_2) < y(x_1)$.

Мы показали, что для любых $x_1$ и $x_2$ из промежутка $[0; +\infty)$ таких, что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $y(x_1) > y(x_2)$. Согласно определению, это означает, что функция $y = -x^4 - x^2 + 8$ является (строго) убывающей на всем заданном промежутке.

Ответ: функция $y = -x^4 - x^2 + 8$ убывает на промежутке $[0; +\infty)$.