Номер 8, страница 89, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

8. Решите графически:

а) уравнение $x^{-5} = \sqrt[3]{x}$;

б) неравенство $\sqrt[3]{x+2} > 1$.

а) уравнение $x^{-5} = \sqrt[3]{x}$

Для графического решения данного уравнения построим в одной системе координат графики двух функций: $y = x^{-5}$ и $y = \sqrt[3]{x}$. Абсциссы точек пересечения этих графиков будут являться решениями уравнения.

1. Исследуем функцию $y = x^{-5}$ или $y = \frac{1}{x^5}$.

- Область определения: все действительные числа, кроме $x=0$. То есть, $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

- Функция является нечетной, так как $y(-x) = \frac{1}{(-x)^5} = -\frac{1}{x^5} = -y(x)$. Ее график симметричен относительно начала координат.

- График функции имеет две ветви. В первой четверти ($x>0$) функция убывает от $+\infty$ до $0$. Во третьей четверти ($x<0$) функция также убывает от $0$ до $-\infty$.

- Ключевые точки: $(1, 1)$ и $(-1, -1)$.

2. Исследуем функцию $y = \sqrt[3]{x}$.

- Область определения: все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

- Функция является нечетной, так как $y(-x) = \sqrt[3]{-x} = -\sqrt[3]{x} = -y(x)$. Ее график также симметричен относительно начала координат.

- Функция возрастает на всей области определения.

- Ключевые точки: $(-8, -2)$, $(-1, -1)$, $(0, 0)$, $(1, 1)$, $(8, 2)$.

3. Построение графиков и нахождение решений.

Построим эскизы графиков обеих функций в одной системе координат.

График $y = \frac{1}{x^5}$ (гипербола) проходит через точки $(1, 1)$ и $(-1, -1)$.

График $y = \sqrt[3]{x}$ (кубический корень) также проходит через точки $(1, 1)$ и $(-1, -1)$.

Из анализа графиков видно, что они пересекаются в двух точках.

В первой координатной четверти ($x>0$) функция $y = \frac{1}{x^5}$ убывает, а функция $y = \sqrt[3]{x}$ возрастает. Следовательно, они могут иметь не более одной точки пересечения. Эта точка — $(1, 1)$.

В третьей координатной четверти ($x<0$) обе функции также являются монотонными (одна убывает, другая возрастает), и, в силу симметрии относительно начала координат, они также имеют только одну точку пересечения — $(-1, -1)$.

Таким образом, абсциссы точек пересечения равны $x=1$ и $x=-1$.

Проверим подстановкой:

- Для $x=1$: $1^{-5} = 1$; $\sqrt[3]{1} = 1$. Верно.

- Для $x=-1$: $(-1)^{-5} = -1$; $\sqrt[3]{-1} = -1$. Верно.

Ответ: $x_1 = -1, x_2 = 1$.

б) неравенство $\sqrt[3]{x+2} > 1$

Для графического решения неравенства построим в одной системе координат графики функций $y = \sqrt[3]{x+2}$ и $y = 1$. Решением неравенства будут те значения $x$, для которых график функции $y = \sqrt[3]{x+2}$ расположен выше графика функции $y = 1$.

1. Рассмотрим функцию $y = \sqrt[3]{x+2}$.

- Этот график получается из графика функции $y = \sqrt[3]{x}$ сдвигом на 2 единицы влево вдоль оси $Ox$.

- Область определения: все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

- Функция является возрастающей на всей области определения.

- Ключевые точки: точка "перегиба" $(-2, 0)$; пересечение с осью $Oy$ в точке $(0, \sqrt[3]{2})$; также проходит через точку $(-1, 1)$ (так как $\sqrt[3]{-1+2} = \sqrt[3]{1}=1$) и точку $(6, 2)$ (так как $\sqrt[3]{6+2} = \sqrt[3]{8}=2$).

2. Рассмотрим функцию $y = 1$.

- Это прямая, параллельная оси $Ox$ и проходящая через точку $(0, 1)$ на оси $Oy$.

3. Построение графиков и нахождение решения.

Построим графики. Найдем точку их пересечения, решив уравнение $\sqrt[3]{x+2} = 1$.

Возведем обе части уравнения в куб:

$(\sqrt[3]{x+2})^3 = 1^3$

$x+2 = 1$

$x = -1$

Таким образом, графики пересекаются в точке с абсциссой $x=-1$.

Нас интересует, где $\sqrt[3]{x+2} > 1$, то есть где график функции $y = \sqrt[3]{x+2}$ находится выше прямой $y=1$.

Поскольку функция $y = \sqrt[3]{x+2}$ является строго возрастающей, она будет принимать значения больше 1 для всех $x$, которые больше абсциссы точки пересечения.

Следовательно, решение неравенства — это все $x > -1$.

Ответ: $x \in (-1; +\infty)$.