Номер 9, страница 89, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

9 Даны функции $y = f(x)$ и $y = g(x)$, где $f(x) = x^2$, $g(x) = x^4$.

Докажите, что $\frac{f(4x)}{f(x^2)} = \frac{1}{4}\sqrt{g\left(\frac{x}{2}\right)}$.

Для доказательства данного тождества необходимо преобразовать его левую и правую части, используя заданные определения функций $f(x) = x^{-2}$ и $g(x) = x^4$. Мы покажем, что обе части равны одному и тому же выражению.

1. Преобразование левой части тождества

Левая часть имеет вид $\frac{f(4x)}{f(x^2)}$.

Сначала найдем значение числителя $f(4x)$. Для этого подставим $4x$ вместо $x$ в определение функции $f(x)$:

$f(4x) = (4x)^{-2} = \frac{1}{(4x)^2} = \frac{1}{16x^2}$

Затем найдем значение знаменателя $f(x^2)$. Для этого подставим $x^2$ вместо $x$ в определение функции $f(x)$:

$f(x^2) = (x^2)^{-2} = x^{-4} = \frac{1}{x^4}$

Теперь вычислим отношение (левую часть равенства):

$\frac{f(4x)}{f(x^2)} = \frac{\frac{1}{16x^2}}{\frac{1}{x^4}} = \frac{1}{16x^2} \cdot \frac{x^4}{1} = \frac{x^4}{16x^2} = \frac{x^2}{16}$

Таким образом, левая часть тождества равна $\frac{x^2}{16}$.

2. Преобразование правой части тождества

Правая часть имеет вид $\frac{1}{4}\sqrt{g\left(\frac{x}{2}\right)}$.

Сначала найдем значение выражения под корнем $g\left(\frac{x}{2}\right)$. Для этого подставим $\frac{x}{2}$ вместо $x$ в определение функции $g(x)$:

$g\left(\frac{x}{2}\right) = \left(\frac{x}{2}\right)^4 = \frac{x^4}{2^4} = \frac{x^4}{16}$

Теперь подставим полученный результат в правую часть исходного равенства и упростим:

$\frac{1}{4}\sqrt{g\left(\frac{x}{2}\right)} = \frac{1}{4}\sqrt{\frac{x^4}{16}} = \frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{x^4}}{\sqrt{16}} = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^2}{4} = \frac{x^2}{16}$

Таким образом, правая часть тождества также равна $\frac{x^2}{16}$.

3. Заключение

Мы преобразовали левую и правую части доказываемого тождества и получили один и тот же результат:

Левая часть: $\frac{f(4x)}{f(x^2)} = \frac{x^2}{16}$

Правая часть: $\frac{1}{4}\sqrt{g\left(\frac{x}{2}\right)} = \frac{x^2}{16}$

Поскольку $\frac{x^2}{16} = \frac{x^2}{16}$, тождество доказано.

Ответ: Что и требовалось доказать.