Номер 7, страница 89, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

7 Найдите наименьшее и наибольшее значения функции $y=(x+2)^4-2$ на отрезке $[-1, 4]$.

Для того чтобы найти наименьшее и наибольшее значения функции $y = (x + 2)^4 - 2$ на заданном отрезке $[-1, 4]$, следует использовать стандартный алгоритм исследования функции на отрезке.

1. Нахождение производной функции

Найдём производную функции $y(x)$ по переменной $x$. Это сложная функция, поэтому воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции (цепным правилом): $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.

$y' = ((x + 2)^4 - 2)' = 4(x+2)^{4-1} \cdot (x+2)' - (2)' = 4(x+2)^3 \cdot 1 - 0 = 4(x+2)^3$.

Итак, производная функции: $y' = 4(x+2)^3$.

2. Нахождение критических точек

Критические точки – это точки из области определения функции, в которых производная равна нулю или не существует. В нашем случае производная $y' = 4(x+2)^3$ определена на всей числовой оси.

Приравняем производную к нулю, чтобы найти стационарные точки:

$4(x+2)^3 = 0$

$(x+2)^3 = 0$

$x+2 = 0$

$x = -2$

3. Проверка принадлежности критических точек отрезку

Мы нашли одну критическую точку $x = -2$. Проверим, принадлежит ли она отрезку $[-1, 4]$.

Так как $-2 < -1$, точка $x = -2$ не входит в данный отрезок.

4. Вычисление значений функции на концах отрезка

Поскольку на отрезке $[-1, 4]$ нет критических точек, наименьшее и наибольшее значения функция принимает на концах этого отрезка. Вычислим значения функции в точках $x=-1$ и $x=4$.

Значение функции на левом конце отрезка, при $x = -1$:

$y(-1) = (-1 + 2)^4 - 2 = 1^4 - 2 = 1 - 2 = -1$.

Значение функции на правом конце отрезка, при $x = 4$:

$y(4) = (4 + 2)^4 - 2 = 6^4 - 2 = 1296 - 2 = 1294$.

5. Выбор наименьшего и наибольшего значений

Сравним полученные значения функции: $-1$ и $1294$.

Наименьшее значение функции на отрезке $[-1, 4]$ равно $-1$.

Наибольшее значение функции на отрезке $[-1, 4]$ равно $1294$.

Ответ: наименьшее значение функции $y_{min} = -1$, наибольшее значение функции $y_{max} = 1294$.