Номер 6, страница 89, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

6 Определите число корней уравнения $x^{-2} = 4x + 3.$

Чтобы определить число корней уравнения $x^{-2} = 4x + 3$, преобразуем его и проанализируем.

Исходное уравнение можно переписать, используя определение степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$: $$\frac{1}{x^2} = 4x + 3$$ Область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения — все действительные числа, кроме $x=0$, так как знаменатель не может быть равен нулю.

Умножим обе части уравнения на $x^2$ (это равносильное преобразование в рамках ОДЗ): $$1 = x^2(4x + 3)$$ $$1 = 4x^3 + 3x^2$$ Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартный вид многочлена: $$4x^3 + 3x^2 - 1 = 0$$ Задача свелась к нахождению количества действительных корней этого кубического уравнения.

Для исследования количества корней функции $f(x) = 4x^3 + 3x^2 - 1$ найдем ее производную и точки экстремума. $$f'(x) = (4x^3 + 3x^2 - 1)' = 12x^2 + 6x$$ Приравняем производную к нулю для поиска критических точек: $$12x^2 + 6x = 0$$ $$6x(2x + 1) = 0$$ Критические точки: $x_1 = 0$ и $x_2 = -\frac{1}{2}$.

Теперь найдем значения функции $f(x)$ в этих точках, чтобы определить локальные экстремумы.

В точке $x = -\frac{1}{2}$ имеем локальный максимум: $f(-\frac{1}{2}) = 4(-\frac{1}{2})^3 + 3(-\frac{1}{2})^2 - 1 = 4(-\frac{1}{8}) + 3(\frac{1}{4}) - 1 = -\frac{1}{2} + \frac{3}{4} - 1 = -\frac{2}{4} + \frac{3}{4} - \frac{4}{4} = -\frac{3}{4}$.

В точке $x = 0$ имеем локальный минимум: $f(0) = 4(0)^3 + 3(0)^2 - 1 = -1$.

Мы установили, что локальный максимум функции равен $-\frac{3}{4}$, а локальный минимум равен $-1$. Оба значения отрицательны.

Рассмотрим поведение функции на бесконечности:
При $x \to +\infty$, $f(x) = 4x^3 + 3x^2 - 1 \to +\infty$.
При $x \to -\infty$, $f(x) = 4x^3 + 3x^2 - 1 \to -\infty$.

Сведем все данные воедино. На интервале $(-\infty, 0]$, функция $f(x)$ возрастает от $-\infty$ до локального максимума $-\frac{3}{4}$ (в точке $x = -\frac{1}{2}$), а затем убывает до локального минимума $-1$ (в точке $x=0$). Поскольку максимальное значение на этом участке отрицательно, функция не пересекает ось Ox, и корней здесь нет.

На интервале $(0, +\infty)$ функция $f(x)$ возрастает от значения $f(0) = -1$ до $+\infty$. Так как функция непрерывна и меняет знак с минуса на плюс, она обязана пересечь ось Ox ровно один раз. Этот корень не равен нулю, поэтому он удовлетворяет ОДЗ исходного уравнения.

Таким образом, уравнение имеет единственный действительный корень.

Ответ: 1.