Номер 4, страница 88, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

4 Используя свойства числовых неравенств, исследуйте на монотонность функцию $y = 3x^3 + 4x + 5$, $x \in [0; +\infty)$.

Для исследования функции на монотонность на заданном промежутке воспользуемся определением. Функция $y=f(x)$ называется возрастающей на промежутке, если для любых двух значений аргумента $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, таких что $x_2 > x_1$, выполняется неравенство $f(x_2) > f(x_1)$.

Заданная функция $y = 3x^3 + 4x + 5$ рассматривается на промежутке $x \in [0; +\infty)$.

Выберем два произвольных значения $x_1$ и $x_2$ из области определения $[0; +\infty)$ так, чтобы $x_2 > x_1$. Это означает, что выполняется неравенство $0 \le x_1 < x_2$.

Рассмотрим разность значений функции в этих точках:

$f(x_2) - f(x_1) = (3x_2^3 + 4x_2 + 5) - (3x_1^3 + 4x_1 + 5)$

Упростим полученное выражение, раскрыв скобки и сгруппировав слагаемые:

$f(x_2) - f(x_1) = 3x_2^3 - 3x_1^3 + 4x_2 - 4x_1 + 5 - 5 = 3(x_2^3 - x_1^3) + 4(x_2 - x_1)$

Применим формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$ к выражению $x_2^3 - x_1^3$:

$f(x_2) - f(x_1) = 3(x_2 - x_1)(x_2^2 + x_1x_2 + x_1^2) + 4(x_2 - x_1)$

Вынесем общий множитель $(x_2 - x_1)$ за скобки:

$f(x_2) - f(x_1) = (x_2 - x_1) \cdot [3(x_2^2 + x_1x_2 + x_1^2) + 4]$

Теперь, используя свойства числовых неравенств, оценим знак каждого множителя в полученном произведении:

1. Первый множитель $(x_2 - x_1)$. Так как по условию мы выбрали $x_2 > x_1$, то их разность строго положительна: $x_2 - x_1 > 0$.

2. Второй множитель $[3(x_2^2 + x_1x_2 + x_1^2) + 4]$. Так как $0 \le x_1 < x_2$, то $x_1 \ge 0$ и $x_2 > 0$. Оценим выражение в круглых скобках:

• $x_1^2 \ge 0$
• $x_2^2 > 0$ (так как $x_2 > 0$)
• $x_1x_2 \ge 0$ (произведение неотрицательного и положительного чисел)

Сумма этих трех слагаемых $x_2^2 + x_1x_2 + x_1^2$ будет строго положительной, так как как минимум одно слагаемое ($x_2^2$) строго больше нуля, а остальные неотрицательны: $x_2^2 + x_1x_2 + x_1^2 > 0$.
Умножая это положительное выражение на 3, мы также получаем положительное число: $3(x_2^2 + x_1x_2 + x_1^2) > 0$.
Прибавляя к положительному числу 4, получаем число, которое еще больше: $3(x_2^2 + x_1x_2 + x_1^2) + 4 > 4$.
Следовательно, второй множитель также строго положителен.

Таким образом, разность $f(x_2) - f(x_1)$ равна произведению двух строго положительных выражений. Произведение двух положительных чисел всегда положительно. Значит, $f(x_2) - f(x_1) > 0$, откуда следует, что $f(x_2) > f(x_1)$.

Мы показали, что для любых $x_1, x_2$ из промежутка $[0; +\infty)$ из неравенства $x_2 > x_1$ следует неравенство $f(x_2) > f(x_1)$. Согласно определению, это означает, что функция является возрастающей на данном промежутке.

Ответ: Функция $y = 3x^3 + 4x + 5$ является возрастающей на промежутке $x \in [0; +\infty)$.