Номер 14.26, страница 87, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

14.26 Постройте график функции $y = f(x)$, где

$f(x) = \begin{cases} 2(x+4)^2, & \text{если } -6 \le x \le -2; \\ -x^3, & \text{если } -2 < x < 0; \\ \sqrt[3]{x}, & \text{если } 0 \le x \le 8. \end{cases}$

При каком значении параметра $p$ уравнение $f(x) = p$ имеет:

a) два корня;

б) три корня;

в) четыре корня;

г) не имеет корней?

Для решения задачи сначала построим график функции $y = f(x)$. Функция задана кусочно, поэтому рассмотрим каждый участок отдельно.

1. На промежутке $-6 \le x \le -2$ функция задана формулой $y = 2(x+4)^2$. Это парабола с ветвями вверх. Вершина параболы находится в точке $x = -4$. Координаты вершины: $y(-4) = 2(-4+4)^2 = 0$, то есть точка $(-4, 0)$. Вычислим значения функции на концах промежутка: $f(-6) = 2(-6+4)^2 = 8$ (точка $(-6, 8)$) и $f(-2) = 2(-2+4)^2 = 8$ (точка $(-2, 8)$). Все точки на этом участке, включая концы, принадлежат графику.

2. На промежутке $-2 < x < 0$ функция задана формулой $y = -x^3$. Это график кубической функции, симметричный графику $y=x^3$ относительно оси Ox. Найдем предельные значения на границах интервала (эти точки не включаются в данный участок графика, они "выколотые"): при $x \to -2$ справа, $y \to -(-2)^3 = 8$; при $x \to 0$ слева, $y \to -(0)^3 = 0$.

3. На промежутке $0 \le x \le 8$ функция задана формулой $y = \sqrt[3]{x}$. Это график функции кубического корня. На концах промежутка имеем: $f(0) = \sqrt[3]{0} = 0$ (точка $(0, 0)$) и $f(8) = \sqrt[3]{8} = 2$ (точка $(8, 2)$). Эти точки принадлежат графику.

Соединив все части, получаем непрерывный график. Функция непрерывна в точках "стыка" $x=-2$ (так как $f(-2)=8$ и предел справа равен 8) и $x=0$ (так как $f(0)=0$ и предел слева равен 0). Область значений функции $E(f) = [0, 8]$.

Теперь определим, при каких значениях параметра $p$ уравнение $f(x) = p$ имеет указанное количество корней. Это эквивалентно нахождению числа точек пересечения графика функции $y=f(x)$ с горизонтальной прямой $y=p$.

а) два корня
Прямая $y=p$ пересекает график в двух точках в двух случаях:
1. Когда прямая проходит через два локальных минимума. Это происходит при $p=0$. Корни: $x=-4$ и $x=0$.
2. Когда прямая проходит через локальный максимум в точке $x=-2$ и точку на левой границе области определения $x=-6$. Это происходит при $p=8$. Корни: $x=-6$ и $x=-2$.
Ответ: $p \in \{0, 8\}$.

б) три корня
Три корня уравнение имеет, если прямая $y=p$ пересекает график в трех точках. Из анализа графика видно, что это происходит, когда прямая $y=p$ находится строго между уровнями $y=2$ и $y=8$. В этом диапазоне $2 < p < 8$ прямая пересекает параболу $y=2(x+4)^2$ в двух точках и кубическую кривую $y=-x^3$ в одной точке, что в сумме дает три корня.
Ответ: $p \in (2, 8)$.

в) четыре корня
Четыре корня уравнение имеет, если прямая $y=p$ пересекает график в четырех точках. Это происходит, когда прямая $y=p$ находится между уровнями $y=0$ и $y=2$, включая уровень $y=2$. При $0 < p \le 2$ прямая пересекает:
- параболу $y=2(x+4)^2$ в двух точках;
- кривую $y=-x^3$ в одной точке;
- кривую $y=\sqrt[3]{x}$ в одной точке.
Итого $2+1+1=4$ корня.
Ответ: $p \in (0, 2]$.

г) не имеет корней
Уравнение не имеет корней, если прямая $y=p$ не имеет общих точек с графиком функции. Поскольку область значений функции $E(f) = [0, 8]$, это происходит, когда $p$ находится за пределами этого отрезка.
Ответ: $p \in (-\infty, 0) \cup (8, \infty)$.