Номер 14.23, страница 87, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

14.23 Решите уравнение:

a) $ \sqrt[3]{x^2} + \sqrt[3]{x} = 6; $

б) $ 2\sqrt[3]{x^2} - \sqrt[3]{x} + 2 = 0. $

а)

Исходное уравнение: $\sqrt[3]{x^2} + \sqrt[3]{x} = 6$.

Данное уравнение можно свести к квадратному, если заметить, что $\sqrt[3]{x^2} = (\sqrt[3]{x})^2$.

Введем замену переменной. Пусть $t = \sqrt[3]{x}$. Тогда уравнение примет вид:

$t^2 + t = 6$

Перенесем все слагаемые в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$t^2 + t - 6 = 0$

Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета: сумма корней $t_1 + t_2 = -1$, а их произведение $t_1 \cdot t_2 = -6$. Методом подбора находим корни:

$t_1 = 2$

$t_2 = -3$

Теперь вернемся к исходной переменной $x$.

1. Для $t_1 = 2$:

$\sqrt[3]{x} = 2$

Возводим обе части уравнения в третью степень:

$x_1 = 2^3 = 8$

2. Для $t_2 = -3$:

$\sqrt[3]{x} = -3$

Возводим обе части уравнения в третью степень:

$x_2 = (-3)^3 = -27$

Таким образом, мы получили два корня.

Ответ: $8; -27$.

б)

Исходное уравнение: $2\sqrt[3]{x^2} - \sqrt[3]{x} + 2 = 0$.

Это уравнение также сводится к квадратному с помощью замены. Пусть $t = \sqrt[3]{x}$, тогда $\sqrt[3]{x^2} = t^2$.

Подставим новую переменную в уравнение:

$2t^2 - t + 2 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $t$. Найдем его дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$, где $a=2$, $b=-1$ и $c=2$.

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 1 - 16 = -15$

Так как дискриминант $D = -15 < 0$, квадратное уравнение не имеет действительных корней для $t$.

Поскольку переменная $t$ должна быть действительным числом (как кубический корень из действительного числа $x$), а для нее не найдено действительных решений, то и исходное уравнение не имеет решений в области действительных чисел.

Ответ: корней нет.