Номер 14.21, страница 87, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

Часть 2. Глава 3. Числовые функции. Параграф 14. Функция y=∛x, её свойства и график - номер 14.21, страница 87.

Условие.

14.21 Постройте и прочитайте график функции:

a) $y = \sqrt[3]{x - 3} + 2;$

б) $y = -\sqrt[3]{x};$

В) $y = \sqrt[3]{x} + 2;$

Г) $y = -\sqrt[3]{x} - 4.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

а) $y = \sqrt[3]{x-3} + 2$

Для построения графика этой функции выполним последовательные преобразования графика базовой функции $y = \sqrt[3]{x}$.
1. Построим график функции $y = \sqrt[3]{x}$. Это кривая, симметричная относительно начала координат, проходящая через точки (-8, -2), (-1, -1), (0, 0), (1, 1), (8, 2).
2. Сдвинем график $y = \sqrt[3]{x}$ на 3 единицы вправо вдоль оси Ox. Получим график функции $y = \sqrt[3]{x-3}$.
3. Сдвинем полученный график на 2 единицы вверх вдоль оси Oy. Получим искомый график функции $y = \sqrt[3]{x-3} + 2$.

Контрольные точки для построения:

• При $x = -5$, $y = \sqrt[3]{-5-3} + 2 = \sqrt[3]{-8} + 2 = -2 + 2 = 0$.
• При $x = 2$, $y = \sqrt[3]{2-3} + 2 = \sqrt[3]{-1} + 2 = -1 + 2 = 1$.
• При $x = 3$, $y = \sqrt[3]{3-3} + 2 = 0 + 2 = 2$. (Точка перегиба)
• При $x = 4$, $y = \sqrt[3]{4-3} + 2 = \sqrt[3]{1} + 2 = 1 + 2 = 3$.
• При $x = 11$, $y = \sqrt[3]{11-3} + 2 = \sqrt[3]{8} + 2 = 2 + 2 = 4$.

Прочитаем график (свойства функции):

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$, так как корень кубический извлекается из любого действительного числа.
• Область значений: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Нули функции: $y = 0$ при $\sqrt[3]{x-3} + 2 = 0 \Rightarrow \sqrt[3]{x-3} = -2 \Rightarrow x-3 = (-2)^3 = -8 \Rightarrow x = -5$.
• Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x > -5$; $y < 0$ при $x < -5$.
• Монотонность: функция является строго возрастающей на всей области определения.
• Экстремумы: локальных максимумов и минимумов нет.
• Четность, нечетность: функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида). Центр симметрии графика — точка (3, 2).

Ответ: График функции получается из графика $y = \sqrt[3]{x}$ сдвигом на 3 единицы вправо и на 2 единицы вверх. Свойства: $D(y) = \mathbb{R}$, $E(y) = \mathbb{R}$; функция возрастает на всей области определения; нуль функции $x=-5$; $y>0$ при $x \in (-5; +\infty)$, $y<0$ при $x \in (-\infty; -5)$; функция общего вида.

б) $y = -\sqrt[3]{x}$

График этой функции можно получить из графика базовой функции $y = \sqrt[3]{x}$ путем симметричного отражения относительно оси Ox.

Контрольные точки для построения:

• При $x = -8$, $y = -\sqrt[3]{-8} = -(-2) = 2$.
• При $x = -1$, $y = -\sqrt[3]{-1} = -(-1) = 1$.
• При $x = 0$, $y = -\sqrt[3]{0} = 0$. (Точка перегиба)
• При $x = 1$, $y = -\sqrt[3]{1} = -1$.
• При $x = 8$, $y = -\sqrt[3]{8} = -2$.

Прочитаем график (свойства функции):

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Нули функции: $y = 0$ при $-\sqrt[3]{x} = 0 \Rightarrow x=0$.
• Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x < 0$; $y < 0$ при $x > 0$.
• Монотонность: функция является строго убывающей на всей области определения.
• Экстремумы: экстремумов нет.
• Четность, нечетность: функция нечетная, так как $y(-x) = -\sqrt[3]{-x} = -(-\sqrt[3]{x}) = \sqrt[3]{x}$ и $-y(x) = -(-\sqrt[3]{x}) = \sqrt[3]{x}$. Однако, $y(-x) = -y(x)$ не выполняется. Проверим еще раз: $y(x) = -\sqrt[3]{x}$. $y(-x) = -\sqrt[3]{-x} = -(-\sqrt[3]{x}) = \sqrt[3]{x}$. $-y(x) = -(-\sqrt[3]{x}) = \sqrt[3]{x}$. Таким образом, $y(-x) = -y(x)$, что является определением нечетной функции. График симметричен относительно начала координат.

Ответ: График функции получается из графика $y = \sqrt[3]{x}$ отражением относительно оси Ox. Свойства: $D(y) = \mathbb{R}$, $E(y) = \mathbb{R}$; функция убывает на всей области определения; нуль функции $x=0$; $y>0$ при $x \in (-\infty; 0)$, $y<0$ при $x \in (0; +\infty)$; функция нечетная.

в) $y = \sqrt[3]{x} + 2$

График этой функции можно получить из графика базовой функции $y = \sqrt[3]{x}$ путем сдвига на 2 единицы вверх вдоль оси Oy.

Контрольные точки для построения:

• При $x = -8$, $y = \sqrt[3]{-8} + 2 = -2 + 2 = 0$.
• При $x = -1$, $y = \sqrt[3]{-1} + 2 = -1 + 2 = 1$.
• При $x = 0$, $y = \sqrt[3]{0} + 2 = 2$. (Точка перегиба)
• При $x = 1$, $y = \sqrt[3]{1} + 2 = 1 + 2 = 3$.
• При $x = 8$, $y = \sqrt[3]{8} + 2 = 2 + 2 = 4$.

Прочитаем график (свойства функции):

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Нули функции: $y = 0$ при $\sqrt[3]{x} + 2 = 0 \Rightarrow \sqrt[3]{x} = -2 \Rightarrow x = (-2)^3 = -8$.
• Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x > -8$; $y < 0$ при $x < -8$.
• Монотонность: функция является строго возрастающей на всей области определения.
• Экстремумы: экстремумов нет.
• Четность, нечетность: функция общего вида. Центр симметрии графика — точка (0, 2).

Ответ: График функции получается из графика $y = \sqrt[3]{x}$ сдвигом на 2 единицы вверх. Свойства: $D(y) = \mathbb{R}$, $E(y) = \mathbb{R}$; функция возрастает на всей области определения; нуль функции $x=-8$; $y>0$ при $x \in (-8; +\infty)$, $y<0$ при $x \in (-\infty; -8)$; функция общего вида.

г) $y = -\sqrt[3]{x} - 4$

Для построения графика этой функции выполним последовательные преобразования графика базовой функции $y = \sqrt[3]{x}$.
1. Построим график функции $y = \sqrt[3]{x}$.
2. Отразим его симметрично относительно оси Ox, чтобы получить график $y = -\sqrt[3]{x}$.
3. Сдвинем полученный график на 4 единицы вниз вдоль оси Oy, чтобы получить искомый график $y = -\sqrt[3]{x} - 4$.

Контрольные точки для построения:

• При $x = -8$, $y = -\sqrt[3]{-8} - 4 = 2 - 4 = -2$.
• При $x = -1$, $y = -\sqrt[3]{-1} - 4 = 1 - 4 = -3$.
• При $x = 0$, $y = -\sqrt[3]{0} - 4 = -4$. (Точка перегиба)
• При $x = 1$, $y = -\sqrt[3]{1} - 4 = -1 - 4 = -5$.
• При $x = 8$, $y = -\sqrt[3]{8} - 4 = -2 - 4 = -6$.

Прочитаем график (свойства функции):

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Нули функции: $y = 0$ при $-\sqrt[3]{x} - 4 = 0 \Rightarrow \sqrt[3]{x} = -4 \Rightarrow x = (-4)^3 = -64$.
• Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x < -64$; $y < 0$ при $x > -64$.
• Монотонность: функция является строго убывающей на всей области определения.
• Экстремумы: экстремумов нет.
• Четность, нечетность: функция общего вида. Центр симметрии графика — точка (0, -4).

Ответ: График функции получается из графика $y = \sqrt[3]{x}$ отражением относительно оси Ox и сдвигом на 4 единицы вниз. Свойства: $D(y) = \mathbb{R}$, $E(y) = \mathbb{R}$; функция убывает на всей области определения; нуль функции $x=-64$; $y>0$ при $x \in (-\infty; -64)$, $y<0$ при $x \in (-64; +\infty)$; функция общего вида.