Номер 14.19, страница 86, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

14.19 Решите графически уравнение:

a) $\sqrt[3]{x} = 10 - x$;

б) $\sqrt[3]{x} = |x|.$

а)

Для решения уравнения $\sqrt[3]{x} = 10 - x$ графически, построим в одной системе координат графики функций $y = \sqrt[3]{x}$ и $y = 10 - x$. Решением уравнения будет абсцисса точки пересечения этих графиков.

График функции $y = \sqrt[3]{x}$ — это кривая кубического корня. Это возрастающая функция, проходящая через контрольные точки, например: (-8, -2), (-1, -1), (0, 0), (1, 1), (8, 2).

График функции $y = 10 - x$ — это прямая линия, которая является убывающей функцией. Для её построения можно взять две точки, например, точки пересечения с осями координат: (0, 10) и (10, 0).

Построив оба графика, мы видим, что они пересекаются в одной точке. Чтобы найти её координаты, можно выполнить проверку для целых чисел. Подставим $x=8$:
Левая часть: $\sqrt[3]{8} = 2$.
Правая часть: $10 - 8 = 2$.
Так как $2=2$, то $x=8$ является корнем уравнения. Поскольку функция $y = \sqrt[3]{x}$ монотонно возрастает, а функция $y = 10 - x$ монотонно убывает, их графики могут пересечься не более чем в одной точке. Следовательно, найденное решение является единственным.

Ответ: $x = 8$.

б)

Для решения уравнения $\sqrt[3]{x} = |x|$ графически, построим в одной системе координат графики функций $y = \sqrt[3]{x}$ и $y = |x|$. Решениями уравнения будут абсциссы точек пересечения этих графиков.

График функции $y = \sqrt[3]{x}$ — кривая кубического корня.

График функции $y = |x|$ состоит из двух лучей, образующих "галочку" с вершиной в начале координат: $y = x$ при $x \ge 0$ и $y = -x$ при $x < 0$.

Построив графики, находим их точки пересечения.
1. Точка (0, 0). Проверка: $\sqrt[3]{0} = |0|$, что равносильно $0 = 0$. Значит, $x = 0$ — корень.
2. Точка (1, 1). Проверка: $\sqrt[3]{1} = |1|$, что равносильно $1 = 1$. Значит, $x = 1$ — корень.
Для $x < 0$ график $y=\sqrt[3]{x}$ находится в III координатной четверти (где $y<0$), а график $y=|x|$ — во II координатной четверти (где $y>0$). Таким образом, при $x<0$ графики не пересекаются. Других решений нет.

Ответ: $x = 0; x = 1$.