Страница 86, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

14.14 Принадлежит ли графику функции $y = \sqrt[3]{x}$ точка:

а) A(8; 2);

б) B(-27; 3);

в) C($-\frac{8}{27}$; $-\frac{2}{3}$);

г) D($\frac{1}{125}$; $\frac{1}{5}$)?

Для того чтобы определить, принадлежит ли точка графику функции $y = \sqrt[3]{x}$, необходимо подставить координаты $(x_0; y_0)$ каждой точки в уравнение функции. Если в результате подстановки получается верное числовое равенство $y_0 = \sqrt[3]{x_0}$, то точка принадлежит графику. В противном случае — не принадлежит.

а) A(8; 2)

Подставим координаты $x=8$ и $y=2$ в уравнение функции $y = \sqrt[3]{x}$:

$2 = \sqrt[3]{8}$

Проверим, является ли это равенство верным. Кубический корень из 8 — это число, которое при возведении в третью степень дает 8. Таким числом является 2, поскольку $2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$.

Таким образом, мы получили верное равенство $2 = 2$.

Ответ: да, принадлежит.

б) B(-27; 3)

Подставим координаты $x=-27$ и $y=3$ в уравнение функции $y = \sqrt[3]{x}$:

$3 = \sqrt[3]{-27}$

Проверим, является ли это равенство верным. Кубический корень из -27 — это число, которое при возведении в третью степень дает -27. Таким числом является -3, поскольку $(-3)^3 = (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) = -27$.

Таким образом, мы получили неверное равенство $3 = -3$.

Ответ: нет, не принадлежит.

в) C$(-\frac{8}{27}; -\frac{2}{3})$

Подставим координаты $x = -\frac{8}{27}$ и $y = -\frac{2}{3}$ в уравнение функции $y = \sqrt[3]{x}$:

$-\frac{2}{3} = \sqrt[3]{-\frac{8}{27}}$

Для проверки равенства вычислим кубический корень из дроби. Используем свойство корня $\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$.

$\sqrt[3]{-\frac{8}{27}} = \frac{\sqrt[3]{-8}}{\sqrt[3]{27}} = \frac{-2}{3}$, так как $(-2)^3 = -8$ и $3^3 = 27$.

Таким образом, мы получили верное равенство $-\frac{2}{3} = -\frac{2}{3}$.

Ответ: да, принадлежит.

г) D$(\frac{1}{125}; \frac{1}{5})$

Подставим координаты $x = \frac{1}{125}$ и $y = \frac{1}{5}$ в уравнение функции $y = \sqrt[3]{x}$:

$\frac{1}{5} = \sqrt[3]{\frac{1}{125}}$

Для проверки равенства вычислим кубический корень из дроби:

$\sqrt[3]{\frac{1}{125}} = \frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{125}} = \frac{1}{5}$, так как $1^3 = 1$ и $5^3 = 125$.

Таким образом, мы получили верное равенство $\frac{1}{5} = \frac{1}{5}$.

Ответ: да, принадлежит.

14.15 Найдите наименьшее и наибольшее значения функции $y = \sqrt[3]{x}$ на заданном промежутке:

а) [1; 8];

б) (-8; 0];

в) [-27; 64];

г) [0,125; $+\infty$).

Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции $y = \sqrt[3]{x}$ на заданных промежутках, необходимо исследовать ее на монотонность.

Функция $y = \sqrt[3]{x}$ определена для всех действительных чисел. Найдем ее производную:
$y' = (x^{1/3})' = \frac{1}{3}x^{-2/3} = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$.

Так как производная $y'(x) > 0$ при всех $x \neq 0$, а в точке $x=0$ функция непрерывна, то функция является строго возрастающей на всей своей области определения $(-\infty; +\infty)$.

Для строго возрастающей функции наименьшее и наибольшее значения на промежутке (если они существуют) достигаются на его концах.

а) На промежутке $[1; 8]$:

Это замкнутый отрезок. Следовательно, наименьшее значение достигается в левой точке $x=1$, а наибольшее — в правой точке $x=8$.
Наименьшее значение: $y(1) = \sqrt[3]{1} = 1$.
Наибольшее значение: $y(8) = \sqrt[3]{8} = 2$.

Ответ: наименьшее значение 1, наибольшее значение 2.

б) На промежутке $(-8; 0]$:

Это полуинтервал, замкнутый справа. Наибольшее значение достигается в правой точке $x=0$, так как она включена в промежуток.
Наибольшее значение: $y(0) = \sqrt[3]{0} = 0$.
Левая точка $x=-8$ не включена в промежуток. При $x$, стремящемся к $-8$ справа, значения функции $y(x)$ стремятся к $\sqrt[3]{-8}=-2$, но никогда не достигают этого значения. Следовательно, наименьшего значения на данном промежутке не существует.

Ответ: наибольшее значение 0, наименьшего значения не существует.

в) На промежутке $[-27; 64]$:

Это замкнутый отрезок. Наименьшее значение достигается в левой точке $x=-27$, а наибольшее — в правой точке $x=64$.
Наименьшее значение: $y(-27) = \sqrt[3]{-27} = -3$.
Наибольшее значение: $y(64) = \sqrt[3]{64} = 4$.

Ответ: наименьшее значение -3, наибольшее значение 4.

г) На промежутке $[0,125; +\infty)$:

Это луч, замкнутый слева. Наименьшее значение достигается в его начальной точке $x=0,125$.
Наименьшее значение: $y(0,125) = \sqrt[3]{0,125} = \sqrt[3]{(0,5)^3} = 0,5$.
Поскольку промежуток неограничен справа, функция на нем неограниченно возрастает ($y \to +\infty$), и, следовательно, наибольшего значения не существует.

Ответ: наименьшее значение 0,5, наибольшего значения не существует.

14.16 Постройте и прочитайте график функции:

а) $y = \begin{cases} -2x, & \text{если } x \le 0; \\ \sqrt[3]{x}, & \text{если } x > 0; \end{cases}$

б) $y = \begin{cases} \sqrt[3]{x}, & \text{если } x \le 1; \\ \frac{1}{x}, & \text{если } x > 1. \end{cases}$

а) $y = \begin{cases} -2x, & \text{если } x \le 0 \\ \sqrt[3]{x}, & \text{если } x > 0 \end{cases}$

Построение графика:

График данной кусочно-заданной функции состоит из двух частей:

1. На промежутке $(-\infty, 0]$ строим график линейной функции $y = -2x$. Это луч, выходящий из начала координат, точки $(0, 0)$, и проходящий через точку $(-1, 2)$.
2. На промежутке $(0, +\infty)$ строим график степенной функции $y = \sqrt[3]{x}$. Это ветвь графика кубического корня, расположенная в первой координатной четверти. График также выходит из начала координат $(0, 0)$ и проходит через точки $(1, 1)$ и $(8, 2)$.

Поскольку в точке $x=0$ значение первой части функции $y(0) = -2 \cdot 0 = 0$ и предел второй части $\lim_{x \to 0^+} \sqrt[3]{x} = 0$ совпадают, функция является непрерывной на всей числовой оси. График представляет собой единую линию без разрывов.

Чтение графика (свойства функции):

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = [0; +\infty)$.
• Нули функции: $y=0$ при $x=0$.
• Промежутки знакопостоянства:
  • $y>0$ при $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
  • $y<0$ — нет таких значений $x$.
• Промежутки монотонности:
  • Функция убывает на промежутке $(-\infty, 0]$.
  • Функция возрастает на промежутке $[0, +\infty)$.
• Точки экстремума:
  • $x_{min} = 0$, $y_{min} = 0$. Это точка глобального минимума.
• Четность, нечетность: Функция общего вида (не является ни четной, ни нечетной), так как ее график не симметричен ни относительно оси Oy, ни относительно начала координат.
• Непрерывность: Функция непрерывна на всей области определения.

Ответ: Построен график, состоящий из луча $y=-2x$ при $x \le 0$ и ветви графика $y=\sqrt[3]{x}$ при $x > 0$. Функция непрерывна, область определения - все действительные числа, область значений - $[0; +\infty)$, убывает на $(-\infty, 0]$ и возрастает на $[0, +\infty)$, имеет точку минимума $(0,0)$.

б) $y = \begin{cases} \sqrt[3]{x}, & \text{если } x \le 1 \\ \frac{1}{x}, & \text{если } x > 1 \end{cases}$

Построение графика:

График данной кусочно-заданной функции состоит из двух частей:

1. На промежутке $(-\infty, 1]$ строим график функции $y = \sqrt[3]{x}$. Это стандартный график кубического корня, проходящий через точки $(-8, -2)$, $(-1, -1)$, $(0, 0)$ и заканчивающийся в точке "стыка" $(1, 1)$.
2. На промежутке $(1, +\infty)$ строим график функции $y = \frac{1}{x}$. Это часть гиперболы, расположенная в первой координатной четверти. График начинается от точки $(1, 1)$, проходит через точки $(2, 1/2)$, $(4, 1/4)$ и асимптотически приближается к оси Ox при $x \to +\infty$.

Проверим непрерывность в точке $x=1$. Значение функции в этой точке $y(1) = \sqrt[3]{1} = 1$. Пределы слева и справа также равны 1: $\lim_{x \to 1^-} \sqrt[3]{x} = 1$ и $\lim_{x \to 1^+} \frac{1}{x} = 1$. Следовательно, функция непрерывна на всей числовой прямой.

Чтение графика (свойства функции):

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = (-\infty; 1]$.
• Нули функции: $y=0$ при $x=0$.
• Промежутки знакопостоянства:
  • $y > 0$ при $x \in (0; +\infty)$.
  • $y < 0$ при $x \in (-\infty; 0)$.
• Промежутки монотонности:
  • Функция возрастает на промежутке $(-\infty, 1]$.
  • Функция убывает на промежутке $[1, +\infty)$.
• Точки экстремума:
  • $x_{max} = 1$, $y_{max} = 1$. Это точка глобального максимума.
• Четность, нечетность: Функция общего вида (не является ни четной, ни нечетной).
• Непрерывность: Функция непрерывна на всей области определения.
• Асимптоты: Горизонтальная асимптота $y=0$ (ось Ox) при $x \to +\infty$.

Ответ: Построен график, состоящий из части графика $y=\sqrt[3]{x}$ при $x \le 1$ и части гиперболы $y=1/x$ при $x > 1$. Функция непрерывна, область определения - все действительные числа, область значений - $(-\infty; 1]$, возрастает на $(-\infty, 1]$ и убывает на $[1, +\infty)$, имеет точку максимума $(1,1)$ и горизонтальную асимптоту $y=0$ при $x \to +\infty$.

14.17 Исследуйте функцию на чётность, воспользовавшись соответствующим алгоритмом:

а) $y = x^2 \cdot \sqrt[3]{x};$

б) $y = x \cdot \sqrt[3]{x} + x^{-4} + 2.$

а)

Чтобы исследовать функцию $y(x) = x^2 \cdot \sqrt[3]{x}$ на чётность, применим стандартный алгоритм.

1. Найдём область определения функции $D(y)$.
Выражение $x^2$ определено для всех действительных чисел. Кубический корень $\sqrt[3]{x}$ также определен для всех действительных чисел. Следовательно, область определения функции — это множество всех действительных чисел: $D(y) = (-\infty; +\infty)$. Эта область симметрична относительно начала координат, что является необходимым условием для чётности или нечётности функции.

2. Найдём значение функции для аргумента $-x$, то есть $y(-x)$.
Подставим $-x$ вместо $x$ в формулу функции:
$y(-x) = (-x)^2 \cdot \sqrt[3]{-x}$

3. Сравним $y(-x)$ с $y(x)$.
Используем свойства степеней и корней: $(-x)^2 = x^2$ и $\sqrt[3]{-x} = -\sqrt[3]{x}$.
$y(-x) = x^2 \cdot (-\sqrt[3]{x}) = -(x^2 \cdot \sqrt[3]{x})$
Мы видим, что полученное выражение равно исходной функции, взятой со знаком минус:
$y(-x) = -y(x)$
Согласно определению, если для любого $x$ из области определения выполняется равенство $y(-x) = -y(x)$, то функция является нечётной.

Ответ: функция нечётная.

б)

Исследуем на чётность функцию $y(x) = x \cdot \sqrt[3]{x} + x^{-4} + 2$.

1. Найдём область определения функции $D(y)$.
Слагаемое $x^{-4}$ можно записать в виде $\frac{1}{x^4}$. Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $x^4 \neq 0$, что означает $x \neq 0$. Остальные слагаемые ($x \cdot \sqrt[3]{x}$ и $2$) определены для всех действительных $x$. Таким образом, область определения функции: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Эта область симметрична относительно начала координат.

2. Найдём значение функции для аргумента $-x$, то есть $y(-x)$.
$y(-x) = (-x) \cdot \sqrt[3]{-x} + (-x)^{-4} + 2$

3. Сравним $y(-x)$ с $y(x)$.
Упростим полученное выражение, проанализировав каждое слагаемое:
- Первое слагаемое: $(-x) \cdot \sqrt[3]{-x} = (-x) \cdot (-\sqrt[3]{x}) = x \cdot \sqrt[3]{x}$.
- Второе слагаемое: $(-x)^{-4} = \frac{1}{(-x)^4} = \frac{1}{x^4} = x^{-4}$.
- Третье слагаемое (константа) не изменяется.
Собрав всё вместе, получаем:
$y(-x) = x \cdot \sqrt[3]{x} + x^{-4} + 2$
Видно, что $y(-x)$ в точности совпадает с $y(x)$:
$y(-x) = y(x)$
Согласно определению, если для любого $x$ из области определения выполняется равенство $y(-x) = y(x)$, то функция является чётной.

Ответ: функция чётная.

14.18 Постройте график функции и найдите промежутки знакопостоянства:

а) $y = \sqrt[3]{x} - 1;$

б) $y = \sqrt[3]{x + 2};$

в) $y = \sqrt[3]{x} + 2;$

г) $y = \sqrt[3]{x - 1}.$

а) $y = \sqrt[3]{x} - 1$
1. Построение графика.
График данной функции получается из графика базовой функции $y = \sqrt[3]{x}$ путем параллельного переноса (сдвига) на 1 единицу вниз вдоль оси OY.
Область определения функции $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
Область значений функции $E(y) = (-\infty; +\infty)$.
Для построения графика найдем несколько ключевых точек. Для этого возьмем характерные точки графика $y=\sqrt[3]{x}$ и сместим их на 1 вниз:
- если $x=-8$, то $y = \sqrt[3]{-8} - 1 = -2 - 1 = -3$. Точка $(-8, -3)$.
- если $x=-1$, то $y = \sqrt[3]{-1} - 1 = -1 - 1 = -2$. Точка $(-1, -2)$.
- если $x=0$, то $y = \sqrt[3]{0} - 1 = 0 - 1 = -1$. Точка $(0, -1)$ - пересечение с осью OY.
- если $x=1$, то $y = \sqrt[3]{1} - 1 = 1 - 1 = 0$. Точка $(1, 0)$ - пересечение с осью OX.
- если $x=8$, то $y = \sqrt[3]{8} - 1 = 2 - 1 = 1$. Точка $(8, 1)$.
Соединив эти точки плавной кривой, симметричной относительно точки $(0, -1)$, получим график функции.

2. Промежутки знакопостоянства.
Найдем нули функции, то есть точки, в которых график пересекает ось OX. Для этого решим уравнение $y=0$.
$\sqrt[3]{x} - 1 = 0 \implies \sqrt[3]{x} = 1$
Возведем обе части уравнения в куб: $x = 1^3 \implies x = 1$.
Точка $x=1$ является нулем функции и делит числовую ось на два интервала: $(-\infty; 1)$ и $(1; +\infty)$. Определим знак функции на каждом из них.
- $y > 0$: $\sqrt[3]{x} - 1 > 0 \implies \sqrt[3]{x} > 1$. Так как функция $f(t)=t^3$ является строго возрастающей, неравенство сохраняется при возведении в куб: $x > 1$.
- $y < 0$: $\sqrt[3]{x} - 1 < 0 \implies \sqrt[3]{x} < 1 \implies x < 1$.
Таким образом, функция положительна при $x > 1$ и отрицательна при $x < 1$.

Ответ: $y > 0$ при $x \in (1; +\infty)$; $y < 0$ при $x \in (-\infty; 1)$.

б) $y = \sqrt[3]{x+2}$
1. Построение графика.
График данной функции получается из графика функции $y = \sqrt[3]{x}$ путем параллельного переноса на 2 единицы влево вдоль оси OX.
Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
Область значений $E(y) = (-\infty; +\infty)$.
Ключевые точки (точки графика $y = \sqrt[3]{x}$, сдвинутые влево на 2):
- Точка $(-8, -2)$ сдвигается в $(-8-2, -2) = (-10, -2)$.
- Точка $(-1, -1)$ сдвигается в $(-1-2, -1) = (-3, -1)$.
- Точка $(0, 0)$ сдвигается в $(0-2, 0) = (-2, 0)$ - пересечение с осью OX.
- Точка $(1, 1)$ сдвигается в $(1-2, 1) = (-1, 1)$.
- Точка $(8, 2)$ сдвигается в $(8-2, 2) = (6, 2)$.
Пересечение с осью OY: $x=0 \implies y = \sqrt[3]{0+2} = \sqrt[3]{2}$. Точка $(0, \sqrt[3]{2})$.
Соединяем точки плавной кривой.

2. Промежутки знакопостоянства.
Найдем нули функции: $y=0$.
$\sqrt[3]{x+2} = 0 \implies x+2 = 0 \implies x = -2$.
Нуль функции $x=-2$ делит числовую ось на интервалы $(-\infty; -2)$ и $(-2; +\infty)$.
- $y > 0$: $\sqrt[3]{x+2} > 0 \implies x+2 > 0 \implies x > -2$.
- $y < 0$: $\sqrt[3]{x+2} < 0 \implies x+2 < 0 \implies x < -2$.

Ответ: $y > 0$ при $x \in (-2; +\infty)$; $y < 0$ при $x \in (-\infty; -2)$.

в) $y = \sqrt[3]{x} + 2$
1. Построение графика.
График данной функции получается из графика функции $y = \sqrt[3]{x}$ путем параллельного переноса на 2 единицы вверх вдоль оси OY.
Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
Область значений $E(y) = (-\infty; +\infty)$.
Ключевые точки (точки $y=\sqrt[3]{x}$, сдвинутые вверх на 2):
- если $x=-8$, то $y = \sqrt[3]{-8} + 2 = -2 + 2 = 0$. Точка $(-8, 0)$ - пересечение с осью OX.
- если $x=-1$, то $y = \sqrt[3]{-1} + 2 = -1 + 2 = 1$. Точка $(-1, 1)$.
- если $x=0$, то $y = \sqrt[3]{0} + 2 = 0 + 2 = 2$. Точка $(0, 2)$ - пересечение с осью OY.
- если $x=1$, то $y = \sqrt[3]{1} + 2 = 1 + 2 = 3$. Точка $(1, 3)$.
- если $x=8$, то $y = \sqrt[3]{8} + 2 = 2 + 2 = 4$. Точка $(8, 4)$.
Соединяем точки плавной кривой.

2. Промежутки знакопостоянства.
Найдем нули функции: $y=0$.
$\sqrt[3]{x} + 2 = 0 \implies \sqrt[3]{x} = -2 \implies x = (-2)^3 = -8$.
Нуль функции $x=-8$ делит числовую ось на интервалы $(-\infty; -8)$ и $(-8; +\infty)$.
- $y > 0$: $\sqrt[3]{x} + 2 > 0 \implies \sqrt[3]{x} > -2 \implies x > (-2)^3 \implies x > -8$.
- $y < 0$: $\sqrt[3]{x} + 2 < 0 \implies \sqrt[3]{x} < -2 \implies x < (-2)^3 \implies x < -8$.

Ответ: $y > 0$ при $x \in (-8; +\infty)$; $y < 0$ при $x \in (-\infty; -8)$.

г) $y = \sqrt[3]{x-1}$
1. Построение графика.
График данной функции получается из графика функции $y = \sqrt[3]{x}$ путем параллельного переноса на 1 единицу вправо вдоль оси OX.
Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
Область значений $E(y) = (-\infty; +\infty)$.
Ключевые точки (точки $y = \sqrt[3]{x}$, сдвинутые вправо на 1):
- Точка $(-8, -2)$ сдвигается в $(-8+1, -2) = (-7, -2)$.
- Точка $(-1, -1)$ сдвигается в $(-1+1, -1) = (0, -1)$ - пересечение с осью OY.
- Точка $(0, 0)$ сдвигается в $(0+1, 0) = (1, 0)$ - пересечение с осью OX.
- Точка $(1, 1)$ сдвигается в $(1+1, 1) = (2, 1)$.
- Точка $(8, 2)$ сдвигается в $(8+1, 2) = (9, 2)$.
Соединяем точки плавной кривой.

2. Промежутки знакопостоянства.
Найдем нули функции: $y=0$.
$\sqrt[3]{x-1} = 0 \implies x-1 = 0 \implies x = 1$.
Нуль функции $x=1$ делит числовую ось на интервалы $(-\infty; 1)$ и $(1; +\infty)$.
- $y > 0$: $\sqrt[3]{x-1} > 0 \implies x-1 > 0 \implies x > 1$.
- $y < 0$: $\sqrt[3]{x-1} < 0 \implies x-1 < 0 \implies x < 1$.

Ответ: $y > 0$ при $x \in (1; +\infty)$; $y < 0$ при $x \in (-\infty; 1)$.

14.19 Решите графически уравнение:

a) $\sqrt[3]{x} = 10 - x$;

б) $\sqrt[3]{x} = |x|.$

а)

Для решения уравнения $\sqrt[3]{x} = 10 - x$ графически, построим в одной системе координат графики функций $y = \sqrt[3]{x}$ и $y = 10 - x$. Решением уравнения будет абсцисса точки пересечения этих графиков.

График функции $y = \sqrt[3]{x}$ — это кривая кубического корня. Это возрастающая функция, проходящая через контрольные точки, например: (-8, -2), (-1, -1), (0, 0), (1, 1), (8, 2).

График функции $y = 10 - x$ — это прямая линия, которая является убывающей функцией. Для её построения можно взять две точки, например, точки пересечения с осями координат: (0, 10) и (10, 0).

Построив оба графика, мы видим, что они пересекаются в одной точке. Чтобы найти её координаты, можно выполнить проверку для целых чисел. Подставим $x=8$:
Левая часть: $\sqrt[3]{8} = 2$.
Правая часть: $10 - 8 = 2$.
Так как $2=2$, то $x=8$ является корнем уравнения. Поскольку функция $y = \sqrt[3]{x}$ монотонно возрастает, а функция $y = 10 - x$ монотонно убывает, их графики могут пересечься не более чем в одной точке. Следовательно, найденное решение является единственным.

Ответ: $x = 8$.

б)

Для решения уравнения $\sqrt[3]{x} = |x|$ графически, построим в одной системе координат графики функций $y = \sqrt[3]{x}$ и $y = |x|$. Решениями уравнения будут абсциссы точек пересечения этих графиков.

График функции $y = \sqrt[3]{x}$ — кривая кубического корня.

График функции $y = |x|$ состоит из двух лучей, образующих "галочку" с вершиной в начале координат: $y = x$ при $x \ge 0$ и $y = -x$ при $x < 0$.

Построив графики, находим их точки пересечения.
1. Точка (0, 0). Проверка: $\sqrt[3]{0} = |0|$, что равносильно $0 = 0$. Значит, $x = 0$ — корень.
2. Точка (1, 1). Проверка: $\sqrt[3]{1} = |1|$, что равносильно $1 = 1$. Значит, $x = 1$ — корень.
Для $x < 0$ график $y=\sqrt[3]{x}$ находится в III координатной четверти (где $y<0$), а график $y=|x|$ — во II координатной четверти (где $y>0$). Таким образом, при $x<0$ графики не пересекаются. Других решений нет.

Ответ: $x = 0; x = 1$.