Страница 80, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

Исследуйте функцию на чётность и постройте её график:

12.33 a) $y = \frac{x^4}{x}$;

б) $y = \frac{x^4}{|x|}$;

в) $y = \frac{x^5}{x^2}$;

г) $y = x^2|x|$.

а) $y = \frac{x^4}{x}$

1. Исследование на чётность.
Область определения функции $D(y)$: знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $x \neq 0$. Таким образом, $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Эта область симметрична относительно начала координат.
Найдём значение функции от $-x$:
$y(-x) = \frac{(-x)^4}{-x} = \frac{x^4}{-x} = -\frac{x^4}{x} = -y(x)$.
Поскольку выполняется условие $y(-x) = -y(x)$, функция является нечётной.

2. Построение графика.
При $x \neq 0$ можно упростить выражение: $y = \frac{x^4}{x} = x^3$. Это означает, что график нашей функции совпадает с графиком кубической параболы $y=x^3$ во всех точках, кроме точки с абсциссой $x=0$. Поскольку функция не определена в точке $x=0$, на графике в этой точке будет разрыв (так называемая "выколотая" точка). Координаты этой точки $(0; 0^3) = (0; 0)$. График представляет собой кубическую параболу с выколотой точкой в начале координат. График симметричен относительно начала координат.

Ответ: Функция нечётная. График – кубическая парабола $y=x^3$ с выколотой точкой $(0;0)$.

б) $y = \frac{x^4}{|x|}$

1. Исследование на чётность.
Область определения функции $D(y)$: $|x| \neq 0$, что эквивалентно $x \neq 0$. $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Область симметрична относительно начала координат.
Найдём значение функции от $-x$:
$y(-x) = \frac{(-x)^4}{|-x|} = \frac{x^4}{|x|} = y(x)$.
Поскольку выполняется условие $y(-x) = y(x)$, функция является чётной.

2. Построение графика.
Раскроем модуль для построения графика:
- Если $x > 0$, то $|x| = x$, и $y = \frac{x^4}{x} = x^3$.
- Если $x < 0$, то $|x| = -x$, и $y = \frac{x^4}{-x} = -x^3$.
Итак, функция может быть записана в виде: $y = \begin{cases} x^3, & \text{если } x > 0 \\ -x^3, & \text{если } x < 0 \end{cases}$.
Для $x > 0$ строим часть графика $y=x^3$, а для $x < 0$ – часть графика $y=-x^3$. Точка $x=0$ не входит в область определения, поэтому на графике в начале координат будет выколотая точка $(0;0)$. График симметричен относительно оси Oy.

Ответ: Функция чётная. График состоит из двух ветвей: $y=x^3$ при $x>0$ и $y=-x^3$ при $x<0$, с выколотой точкой $(0;0)$.

в) $y = \frac{x^5}{x^2}$

1. Исследование на чётность.
Область определения функции $D(y)$: $x^2 \neq 0$, то есть $x \neq 0$. $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Область симметрична относительно начала координат.
Найдём значение функции от $-x$:
$y(-x) = \frac{(-x)^5}{(-x)^2} = \frac{-x^5}{x^2} = -\frac{x^5}{x^2} = -y(x)$.
Поскольку выполняется условие $y(-x) = -y(x)$, функция является нечётной.

2. Построение графика.
При $x \neq 0$ упростим выражение: $y = \frac{x^5}{x^2} = x^3$. Данная функция и её график полностью совпадают с функцией и графиком из пункта а). Это кубическая парабола $y=x^3$ с выколотой точкой в начале координат $(0;0)$.

Ответ: Функция нечётная. График – кубическая парабола $y=x^3$ с выколотой точкой $(0;0)$.

г) $y = x^2|x|$

1. Исследование на чётность.
Область определения функции $D(y)$: выражение $x^2|x|$ определено для всех действительных чисел, поэтому $D(y) = (-\infty; +\infty)$. Область симметрична относительно начала координат.
Найдём значение функции от $-x$:
$y(-x) = (-x)^2|-x| = x^2|x| = y(x)$.
Поскольку выполняется условие $y(-x) = y(x)$, функция является чётной.

2. Построение графика.
Раскроем модуль:
- Если $x \geq 0$, то $|x| = x$, и $y = x^2 \cdot x = x^3$.
- Если $x < 0$, то $|x| = -x$, и $y = x^2 \cdot (-x) = -x^3$.
Итак, функция может быть записана в виде: $y = \begin{cases} x^3, & \text{если } x \geq 0 \\ -x^3, & \text{если } x < 0 \end{cases}$.
Этот график очень похож на график из пункта б), но поскольку функция определена в точке $x=0$ (и $y(0)=0$), точка $(0;0)$ принадлежит графику (не выколота). График непрерывен и симметричен относительно оси Oy.

Ответ: Функция чётная. График состоит из двух ветвей: $y=x^3$ при $x \geq 0$ и $y=-x^3$ при $x<0$. График непрерывен.

12.34 а) $y=(|x|-2)^3$;

б) $y=-(|x|+1)^3$.

а) $y = (|x| - 2)^3$

Для решения задачи исследуем функцию и построим ее график.

1. Анализ функции.

Область определения: Функция определена для всех действительных чисел $x$, так как все операции (модуль, вычитание, возведение в куб) выполнимы для любого $x$. Таким образом, $D(y) = (-\infty, +\infty)$.

Четность: Проверим функцию на четность. $y(-x) = (|-x| - 2)^3 = (|x| - 2)^3 = y(x)$. Так как $y(-x) = y(x)$, функция является четной. Ее график симметричен относительно оси ординат (оси Oy).

Точки пересечения с осями координат:
С осью Oy (при $x=0$): $y(0) = (|0| - 2)^3 = (-2)^3 = -8$. Точка пересечения $(0, -8)$.
С осью Ox (при $y=0$): $(|x| - 2)^3 = 0 \implies |x| - 2 = 0 \implies |x| = 2$. Отсюда $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$. Точки пересечения $(-2, 0)$ и $(2, 0)$.

2. Построение графика.

Поскольку функция четная, достаточно построить ее график для $x \ge 0$ и затем симметрично отразить его относительно оси Oy.

При $x \ge 0$, $|x| = x$, и функция принимает вид: $y = (x - 2)^3$.

График функции $y = (x - 2)^3$ — это график стандартной кубической параболы $y = x^3$, сдвинутый на 2 единицы вправо вдоль оси Ox. Для $x \ge 0$ этот график начинается в точке $(0, -8)$, проходит через точку $(2, 0)$, которая является точкой перегиба с горизонтальной касательной, и далее возрастает.

Построим эту часть графика по нескольким точкам для $x \ge 0$:
Если $x=0$, $y = (0-2)^3 = -8$.
Если $x=1$, $y = (1-2)^3 = -1$.
Если $x=2$, $y = (2-2)^3 = 0$.
Если $x=3$, $y = (3-2)^3 = 1$.
Если $x=4$, $y = (4-2)^3 = 8$.

Теперь отразим построенную для $x \ge 0$ часть графика симметрично относительно оси Oy, чтобы получить график для $x < 0$. Ветвь для $x<0$ будет проходить через точки $(-1, -1)$, $(-2, 0)$, $(-3, 1)$, $(-4, 8)$ и соединится с первой ветвью в точке $(0, -8)$.

3. Монотонность и экстремумы.

На промежутке $(-\infty, 0]$ функция убывает. На промежутке $[0, +\infty)$ функция возрастает. Точка $x=0$ является точкой минимума. В этой точке график имеет излом (касп). $y_{min} = y(0) = -8$.

4. Область значений.

Минимальное значение функции достигается в точке $x=0$ и равно -8. Максимального значения не существует, так как при $x \to \pm\infty$, $y \to +\infty$. Область значений $E(y) = [-8, +\infty)$.

Ответ: График функции $y = (|x| - 2)^3$ симметричен относительно оси Oy. Он имеет точку минимума (излом) в $(0, -8)$. График пересекает ось Ox в точках $(-2, 0)$ и $(2, 0)$, которые являются точками перегиба. Функция убывает на промежутке $(-\infty, 0]$ и возрастает на промежутке $[0, +\infty)$. Область значений функции: $E(y) = [-8, +\infty)$.

б) $y = -(|x| + 1)^3$

Для решения задачи исследуем функцию и построим ее график.

1. Анализ функции.

Область определения: Функция определена для всех действительных чисел $x$. $D(y) = (-\infty, +\infty)$.

Четность: $y(-x) = -(|-x| + 1)^3 = -(|x| + 1)^3 = y(x)$. Функция является четной, ее график симметричен относительно оси Oy.

Точки пересечения с осями координат:
С осью Oy (при $x=0$): $y(0) = -(|0| + 1)^3 = -(1)^3 = -1$. Точка пересечения $(0, -1)$.
С осью Ox (при $y=0$): $-(|x| + 1)^3 = 0 \implies |x| + 1 = 0 \implies |x| = -1$. Это уравнение не имеет решений в действительных числах, так как модуль числа не может быть отрицательным. Следовательно, график не пересекает ось Ox.

2. Построение графика.

В силу четности, построим график для $x \ge 0$ и отразим его симметрично относительно оси Oy.

При $x \ge 0$, $|x| = x$, и функция принимает вид: $y = -(x + 1)^3$.

График функции $y = -(x + 1)^3$ можно получить из графика $y = x^3$ следующими преобразованиями: 1. Сдвиг на 1 единицу влево: $y = (x+1)^3$. 2. Симметричное отражение относительно оси Ox: $y = -(x+1)^3$.

Мы строим часть графика $y = -(x+1)^3$ только для $x \ge 0$. Эта часть начинается в точке $(0, -1)$ и убывает по мере роста $x$.

Найдем несколько точек для $x \ge 0$:
Если $x=0$, $y = -(0+1)^3 = -1$.
Если $x=1$, $y = -(1+1)^3 = -8$.
Если $x=2$, $y = -(2+1)^3 = -27$.

Отразив построенную для $x \ge 0$ часть графика симметрично относительно оси Oy, мы получим полную картину. Вторая ветвь для $x < 0$ будет симметрична первой и также будет исходить из точки $(0, -1)$.

3. Монотонность и экстремумы.

На промежутке $(-\infty, 0]$ функция возрастает. На промежутке $[0, +\infty)$ функция убывает. Точка $x=0$ является точкой максимума. В этой точке график имеет излом (пик). $y_{max} = y(0) = -1$.

4. Область значений.

Максимальное значение функции достигается в точке $x=0$ и равно -1. Минимального значения не существует. Область значений $E(y) = (-\infty, -1]$.

Ответ: График функции $y = -(|x| + 1)^3$ симметричен относительно оси Oy. Он имеет точку максимума (пик) в $(0, -1)$ и полностью расположен под осью Ox. Функция возрастает на промежутке $(-\infty, 0]$ и убывает на промежутке $[0, +\infty)$. Область значений функции: $E(y) = (-\infty, -1]$.

12.35 Докажите, что уравнение не имеет корней:

a) $x^4 + x^2 + 1 = 0;$

б) $x^6 - x + 3 = 0;$

в) $x^4 + x^2 - 2x + 3 = 0;$

г) $x^6 - \sqrt{x - 1} = 0.$

а) Для того чтобы доказать, что уравнение $x^4 + x^2 + 1 = 0$ не имеет корней, рассмотрим его левую часть. Для любого действительного числа $x$ справедливы следующие неравенства:
1. $x^4 \ge 0$, так как любое число в чётной степени неотрицательно.
2. $x^2 \ge 0$ по той же причине.
Сумма двух неотрицательных слагаемых также неотрицательна: $x^4 + x^2 \ge 0$.
Если прибавить к обеим частям этого неравенства 1, получим: $x^4 + x^2 + 1 \ge 1$.
Таким образом, левая часть уравнения всегда больше или равна 1, а значит, никогда не может быть равна 0. Следовательно, уравнение не имеет действительных корней.
Ответ: доказано, что уравнение не имеет корней.

б) Чтобы доказать, что уравнение $x^6 - x + 3 = 0$ не имеет корней, покажем, что его левая часть всегда положительна. Для этого рассмотрим два возможных случая для переменной $x$.
1. Пусть $x \le 1$. В этом случае разность $1 - x$ неотрицательна: $1 - x \ge 0$. Перепишем левую часть уравнения в виде $x^6 + (1 - x) + 2$. Поскольку $x^6 \ge 0$ (как чётная степень) и $1-x \ge 0$ по нашему условию, то их сумма с числом 2 будет не меньше 2: $x^6 + (1 - x) + 2 \ge 0 + 0 + 2 = 2$. Таким образом, при $x \le 1$ левая часть уравнения строго положительна.
2. Пусть $x > 1$. В этом случае $x^5 > 1^5$, то есть $x^5 > 1$. Умножим обе части этого неравенства на положительное число $x$, получим $x^6 > x$, что равносильно $x^6 - x > 0$. Тогда левая часть исходного уравнения $x^6 - x + 3$ будет строго больше 3, так как является суммой положительного числа $x^6 - x$ и числа 3.
Поскольку левая часть уравнения строго положительна при любых действительных значениях $x$, она не может равняться нулю.
Ответ: доказано, что уравнение не имеет корней.

в) Рассмотрим уравнение $x^4 + x^2 - 2x + 3 = 0$. Для доказательства отсутствия корней преобразуем его левую часть, выделив полный квадрат.
Сгруппируем слагаемые следующим образом: $x^4 + (x^2 - 2x + 1) + 2 = 0$.
Выражение в скобках представляет собой формулу квадрата разности: $(x-1)^2 = x^2 - 2x + 1$.
Подставив это в уравнение, получим: $x^4 + (x-1)^2 + 2 = 0$.
Теперь проанализируем слагаемые в левой части:
1. $x^4 \ge 0$ для любого $x$.
2. $(x-1)^2 \ge 0$ для любого $x$.
Сумма двух неотрицательных выражений также неотрицательна: $x^4 + (x-1)^2 \ge 0$.
Прибавив 2, получим, что левая часть уравнения всегда не меньше 2: $x^4 + (x-1)^2 + 2 \ge 2$.
Так как левая часть уравнения никогда не может быть равна нулю, уравнение не имеет корней.
Ответ: доказано, что уравнение не имеет корней.

г) Утверждение о том, что уравнение $x^6 - \sqrt{x-1} - 1 = 0$ не имеет корней, является неверным.
Область допустимых значений (ОДЗ) этого уравнения определяется условием неотрицательности подкоренного выражения: $x-1 \ge 0$, откуда $x \ge 1$.
Проверим, является ли $x=1$ корнем данного уравнения. Для этого подставим $x=1$ в левую часть:
$1^6 - \sqrt{1-1} - 1 = 1 - \sqrt{0} - 1 = 1 - 0 - 1 = 0$.
Так как получилось верное равенство $0=0$, значение $x=1$ является корнем уравнения.
Вероятно, в условии задачи содержится опечатка. Если предположить, что уравнение должно было иметь вид $x^6 - \sqrt{x-1} + 1 = 0$, то оно действительно не имело бы корней. Докажем это для гипотетического уравнения. ОДЗ: $x \ge 1$.
1. Если $x$ находится в промежутке $[1, 2)$, то $0 \le x-1 < 1$, и следовательно, $0 \le \sqrt{x-1} < 1$. Также $x^6 \ge 1$. Тогда левая часть $x^6 - \sqrt{x-1} + 1 > 1 - 1 + 1 = 1$.
2. Если $x \ge 2$, то $x^6 > x$. Также докажем, что $x > \sqrt{x-1}$. Так как обе части неравенства при $x \ge 2$ положительны, можно возвести их в квадрат: $x^2 > x-1$, что эквивалентно $x^2 - x + 1 > 0$. Дискриминант квадратного трехчлена $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3 < 0$, а старший коэффициент положителен, значит, трехчлен всегда принимает положительные значения. Таким образом, $x > \sqrt{x-1}$. Объединяя неравенства, получаем $x^6 \ge x > \sqrt{x-1}$, откуда $x^6 - \sqrt{x-1} > 0$. Тогда левая часть уравнения $x^6 - \sqrt{x-1} + 1 > 0 + 1 = 1$.
В обоих случаях левая часть предполагаемого уравнения $x^6 - \sqrt{x-1} + 1 = 0$ строго больше 1, значит, оно не имеет корней.
Ответ: утверждение для исходного уравнения неверно, так как $x=1$ является его корнем.

12.36 Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = x^7$. Докажите, что

$f(2x) \cdot f\left(\frac{x}{2}\right) = (f(x))^2$.

Чтобы доказать тождество $f(2x) \cdot f(\frac{x}{2}) = (f(x))^2$ для функции $f(x) = x^7$, мы преобразуем левую и правую части равенства по отдельности и убедимся, что они равны.

Преобразуем левую часть равенства $f(2x) \cdot f(\frac{x}{2})$

Сначала найдём значение функции для аргумента $2x$, подставив $2x$ в выражение для $f(x)$:
$f(2x) = (2x)^7 = 2^7 \cdot x^7$.

Аналогично найдём значение функции для аргумента $\frac{x}{2}$:
$f\left(\frac{x}{2}\right) = \left(\frac{x}{2}\right)^7 = \frac{x^7}{2^7}$.

Теперь перемножим полученные выражения, чтобы найти значение левой части равенства:
$f(2x) \cdot f\left(\frac{x}{2}\right) = (2^7 \cdot x^7) \cdot \left(\frac{x^7}{2^7}\right)$.

Сократим множитель $2^7$ и воспользуемся свойством степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$x^7 \cdot x^7 = x^{7+7} = x^{14}$.

Таким образом, левая часть равна $x^{14}$.

Преобразуем правую часть равенства $(f(x))^2$

Подставим в правую часть выражение для $f(x)$:
$(f(x))^2 = (x^7)^2$.

Воспользуемся свойством возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$(x^7)^2 = x^{7 \cdot 2} = x^{14}$.

Таким образом, правая часть равна $x^{14}$.

Заключение

Мы получили, что левая часть равенства равна $x^{14}$ и правая часть равенства также равна $x^{14}$. Поскольку левая и правая части тождественно равны ($x^{14} = x^{14}$), исходное равенство доказано.

Ответ: Что и требовалось доказать.

12.37 Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = -x^4$. Докажите, что

$f(4x) \cdot f\left(-\frac{x}{4}\right) = (f(x))^2$.

Для того чтобы доказать тождество $f(4x) \cdot f(-\frac{x}{4}) = (f(x))^2$ при заданной функции $f(x) = -x^4$, необходимо поочередно преобразовать левую и правую части равенства и убедиться, что они равны.

1. Преобразование левой части: $f(4x) \cdot f(-\frac{x}{4})$

Сначала найдем значение функции для аргумента $4x$, подставив $4x$ вместо $x$ в определение функции:

$f(4x) = -(4x)^4 = -(4^4 \cdot x^4) = -256x^4$.

Затем найдем значение функции для аргумента $-\frac{x}{4}$, подставив $-\frac{x}{4}$ вместо $x$:

$f(-\frac{x}{4}) = -(-\frac{x}{4})^4 = -(\frac{(-1)^4 \cdot x^4}{4^4}) = -\frac{x^4}{256}$.

Теперь перемножим полученные выражения:

$f(4x) \cdot f(-\frac{x}{4}) = (-256x^4) \cdot (-\frac{x^4}{256})$.

Произведение двух отрицательных чисел является положительным. Также мы можем сократить множитель 256 в числителе и знаменателе:

$256x^4 \cdot \frac{x^4}{256} = x^4 \cdot x^4 = x^{4+4} = x^8$.

Таким образом, левая часть тождества равна $x^8$.

2. Преобразование правой части: $(f(x))^2$

Подставим в выражение данное нам определение функции $f(x)$ и возведем в квадрат:

$(f(x))^2 = (-x^4)^2$.

При возведении в квадрат отрицательное выражение становится положительным:

$(-x^4)^2 = (-1)^2 \cdot (x^4)^2 = 1 \cdot x^{4 \cdot 2} = x^8$.

Таким образом, правая часть тождества также равна $x^8$.

3. Заключение

Мы получили, что левая часть тождества $f(4x) \cdot f(-\frac{x}{4})$ равна $x^8$ и правая часть $(f(x))^2$ также равна $x^8$.

Поскольку $x^8 = x^8$, исходное равенство является верным тождеством, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.

12.38 Дана функция $y=f(x)$, где $f(x)=x^{10}$. Докажите, что

$f(x^2) \cdot f(x^{-1}) = f(x)$.

Нам дана функция $f(x) = x^{10}$. Требуется доказать, что $f(x^2) \cdot f(x^{-1}) = f(x)$.

Для доказательства этого тождества мы преобразуем его левую часть, используя определение данной функции.

Сначала найдем значение выражения $f(x^2)$. Для этого подставим $x^2$ вместо $x$ в определение функции $f(x)$: $f(x^2) = (x^2)^{10}$.

Затем найдем значение выражения $f(x^{-1})$. Для этого подставим $x^{-1}$ вместо $x$ в определение функции $f(x)$. Это возможно при $x \neq 0$. $f(x^{-1}) = (x^{-1})^{10}$.

Теперь подставим полученные выражения в левую часть исходного равенства: $f(x^2) \cdot f(x^{-1}) = (x^2)^{10} \cdot (x^{-1})^{10}$.

Упростим это выражение, используя свойства степеней. Сначала применим правило возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$: $(x^2)^{10} = x^{2 \cdot 10} = x^{20}$
$(x^{-1})^{10} = x^{-1 \cdot 10} = x^{-10}$

Теперь произведение принимает вид: $x^{20} \cdot x^{-10}$.

Далее, применим правило умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$: $x^{20} \cdot x^{-10} = x^{20 + (-10)} = x^{20-10} = x^{10}$.

Таким образом, мы показали, что левая часть равенства, $f(x^2) \cdot f(x^{-1})$, равна $x^{10}$.

Правая часть равенства по условию — это $f(x)$, что, по определению функции, равно $x^{10}$.

Поскольку и левая, и правая части равенства равны $x^{10}$, тождество $f(x^2) \cdot f(x^{-1}) = f(x)$ является верным, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано.

12.39 Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = -x^3$. Докажите, что

$(f(x))^9 : f\left(-\frac{1}{2}x^4\right) = f(2x^5)$

Для доказательства данного тождества необходимо преобразовать его левую и правую части, используя определение функции $f(x) = -x^3$. Знак ":" в выражении означает деление.

Рассмотрим левую часть равенства: $(f(x))^9 : f\left(-\frac{1}{2}x^4\right)$.

Сначала вычислим каждый компонент.

По определению функции, $f(x) = -x^3$. Тогда $(f(x))^9$ будет равно:

$(f(x))^9 = (-x^3)^9 = -x^{3 \cdot 9} = -x^{27}$.

Далее вычислим $f\left(-\frac{1}{2}x^4\right)$. Для этого подставим выражение $-\frac{1}{2}x^4$ вместо $x$ в формулу функции $f(x)$:

$f\left(-\frac{1}{2}x^4\right) = -\left(-\frac{1}{2}x^4\right)^3 = -\left(\left(-\frac{1}{2}\right)^3 \cdot (x^4)^3\right) = -\left(-\frac{1}{8}x^{12}\right) = \frac{1}{8}x^{12}$.

Теперь выполним деление, чтобы найти значение всей левой части:

$(f(x))^9 : f\left(-\frac{1}{2}x^4\right) = \frac{-x^{27}}{\frac{1}{8}x^{12}} = -x^{27} \cdot \frac{8}{x^{12}} = -8x^{27-12} = -8x^{15}$.

Теперь рассмотрим правую часть равенства: $f(2x^5)$.

Подставим выражение $2x^5$ вместо $x$ в формулу функции $f(x)$:

$f(2x^5) = -(2x^5)^3 = -(2^3 \cdot (x^5)^3) = -(8 \cdot x^{5 \cdot 3}) = -8x^{15}$.

Сравнивая результаты, полученные для левой и правой частей, видим, что они равны:

$-8x^{15} = -8x^{15}$.

Таким образом, тождество доказано.

Ответ: так как левая и правая части равенства равны $-8x^{15}$, тождество $(f(x))^9 : f\left(-\frac{1}{2}x^4\right) = f(2x^5)$ является верным, что и требовалось доказать.

12.40 Докажите, что уравнение имеет единственный корень, и найдите его:

a) $2x^3 + 1 = \frac{3}{x}$;

б) $(x+1)^5 + 2x + 5 = 0.

а) $2x^3 + 1 = \frac{3}{x}$

Для решения данной задачи преобразуем уравнение. Область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения: $x \neq 0$. Умножим обе части уравнения на $x$, чтобы избавиться от знаменателя: $x(2x^3 + 1) = 3$ $2x^4 + x = 3$ $2x^4 + x - 3 = 0$

Рассмотрим функцию $f(x) = 2x^4 + x - 3$. Чтобы доказать, что исходное уравнение имеет единственный корень, нам нужно доказать, что уравнение $f(x) = 0$ имеет единственный корень (с учетом ОДЗ $x \neq 0$).

Для анализа количества корней найдем производную функции $f(x)$: $f'(x) = (2x^4 + x - 3)' = 8x^3 + 1$

Приравняем производную к нулю, чтобы найти точки экстремума: $8x^3 + 1 = 0$ $8x^3 = -1$ $x^3 = -\frac{1}{8}$ $x = -\frac{1}{2}$

Это единственная критическая точка. Определим знаки производной на интервалах, на которые эта точка делит числовую ось. Если $x < -1/2$, то $x^3 < -1/8$, и $f'(x) = 8x^3 + 1 < 0$, следовательно, функция $f(x)$ на этом промежутке убывает. Если $x > -1/2$, то $x^3 > -1/8$, и $f'(x) = 8x^3 + 1 > 0$, следовательно, функция $f(x)$ возрастает. Таким образом, в точке $x = -1/2$ функция $f(x)$ имеет точку минимума.

Найдем значение функции в точке минимума: $f(-1/2) = 2(-\frac{1}{2})^4 + (-\frac{1}{2}) - 3 = 2(\frac{1}{16}) - \frac{1}{2} - 3 = \frac{1}{8} - \frac{4}{8} - \frac{24}{8} = -\frac{27}{8}$

Поскольку минимальное значение функции $f(x)$ отрицательно ($f_{min} = -27/8 < 0$), а ветви графика функции (параболы четвертой степени) направлены вверх (при $x \to \pm\infty$, $f(x) \to +\infty$), график функции $f(x)$ пересекает ось абсцисс в двух точках. Это означает, что уравнение $2x^4 + x - 3 = 0$ имеет два действительных корня. Ни один из них не равен нулю, так что они оба являются корнями исходного уравнения.

Таким образом, условие задачи о единственности корня является некорректным. Тем не менее, мы можем найти один из корней подбором. Проверим целые числа: При $x = 1$: $2(1)^4 + 1 - 3 = 2 + 1 - 3 = 0$. Следовательно, $x = 1$ является одним из корней уравнения.

Ответ: Утверждение о единственности корня неверно, уравнение имеет два действительных корня. Один из корней, который легко находится, равен 1.

б) $(x + 1)^5 + 2x + 5 = 0$

Рассмотрим функцию $f(x) = (x + 1)^5 + 2x + 5$. Область определения этой функции — все действительные числа, $x \in \mathbb{R}$. Нам нужно доказать, что уравнение $f(x) = 0$ имеет единственный корень.

Для этого исследуем функцию на монотонность с помощью производной: $f'(x) = ((x + 1)^5 + 2x + 5)' = 5(x+1)^4 \cdot (x+1)' + 2 = 5(x+1)^4 + 2$

Выражение $(x+1)^4$ всегда неотрицательно, так как представляет собой четную степень: $(x+1)^4 \ge 0$ для любого $x$. Следовательно, $5(x+1)^4 \ge 0$. Тогда производная $f'(x) = 5(x+1)^4 + 2 \ge 0 + 2 = 2$. Поскольку $f'(x) > 0$ для всех действительных значений $x$, функция $f(x)$ является строго возрастающей на всей числовой оси.

Строго монотонная функция может пересекать любую горизонтальную прямую (в том числе ось $y=0$) не более одного раза. Это означает, что уравнение $f(x) = 0$ имеет не более одного корня.

Чтобы доказать существование корня, найдем пределы функции на бесконечности: $\lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} ((x + 1)^5 + 2x + 5) = -\infty$ $\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} ((x + 1)^5 + 2x + 5) = +\infty$

Так как функция $f(x)$ непрерывна и принимает значения от $-\infty$ до $+\infty$, по теореме о промежуточном значении она должна принять значение $0$ хотя бы в одной точке.

Из того, что уравнение имеет не более одного корня и хотя бы один корень, следует, что оно имеет ровно один, то есть единственный, корень.

Теперь найдем этот корень. Попробуем подобрать его из небольших целых чисел. Проверим $x = -2$: $f(-2) = (-2 + 1)^5 + 2(-2) + 5 = (-1)^5 - 4 + 5 = -1 - 4 + 5 = 0$. Таким образом, $x = -2$ является корнем уравнения.

Так как мы доказали, что корень единственный, то это и есть искомое решение.

Ответ: $x = -2$.