Номер 12.37, страница 80, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

12.37 Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = -x^4$. Докажите, что

$f(4x) \cdot f\left(-\frac{x}{4}\right) = (f(x))^2$.

Для того чтобы доказать тождество $f(4x) \cdot f(-\frac{x}{4}) = (f(x))^2$ при заданной функции $f(x) = -x^4$, необходимо поочередно преобразовать левую и правую части равенства и убедиться, что они равны.

1. Преобразование левой части: $f(4x) \cdot f(-\frac{x}{4})$

Сначала найдем значение функции для аргумента $4x$, подставив $4x$ вместо $x$ в определение функции:

$f(4x) = -(4x)^4 = -(4^4 \cdot x^4) = -256x^4$.

Затем найдем значение функции для аргумента $-\frac{x}{4}$, подставив $-\frac{x}{4}$ вместо $x$:

$f(-\frac{x}{4}) = -(-\frac{x}{4})^4 = -(\frac{(-1)^4 \cdot x^4}{4^4}) = -\frac{x^4}{256}$.

Теперь перемножим полученные выражения:

$f(4x) \cdot f(-\frac{x}{4}) = (-256x^4) \cdot (-\frac{x^4}{256})$.

Произведение двух отрицательных чисел является положительным. Также мы можем сократить множитель 256 в числителе и знаменателе:

$256x^4 \cdot \frac{x^4}{256} = x^4 \cdot x^4 = x^{4+4} = x^8$.

Таким образом, левая часть тождества равна $x^8$.

2. Преобразование правой части: $(f(x))^2$

Подставим в выражение данное нам определение функции $f(x)$ и возведем в квадрат:

$(f(x))^2 = (-x^4)^2$.

При возведении в квадрат отрицательное выражение становится положительным:

$(-x^4)^2 = (-1)^2 \cdot (x^4)^2 = 1 \cdot x^{4 \cdot 2} = x^8$.

Таким образом, правая часть тождества также равна $x^8$.

3. Заключение

Мы получили, что левая часть тождества $f(4x) \cdot f(-\frac{x}{4})$ равна $x^8$ и правая часть $(f(x))^2$ также равна $x^8$.

Поскольку $x^8 = x^8$, исходное равенство является верным тождеством, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.