Номер 13.2, страница 81, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 13. Функции y = x^(-n) (n∈N), их свойства и графики. Глава 3. Числовые функции. ч. 2 - номер 13.2, страница 81.

Постройте и прочитайте график функции:

13.2 а) $y = \frac{1}{x^4}$;

б) $y = x^{-3}$;

в) $y = x^{-8}$;

г) $y = \frac{1}{x^5}$.

а) $y = \frac{1}{x^4}$

Функция может быть записана как $y = x^{-4}$. Это степенная функция с целым отрицательным четным показателем.
Построение графика: График функции состоит из двух ветвей. Так как функция четная ($y(-x) = \frac{1}{(-x)^4} = \frac{1}{x^4} = y(x)$), ее график симметричен относительно оси ординат (оси Oy). Поскольку $x^4 > 0$ для всех $x \ne 0$, то и $y > 0$, следовательно, ветви графика расположены в I и II координатных четвертях. При $x \to 0$, значение $y$ стремится к бесконечности ($y \to +\infty$), поэтому ось Oy является вертикальной асимптотой ($x=0$). При $x \to \pm\infty$, значение $y$ стремится к нулю ($y \to 0$), поэтому ось Ox является горизонтальной асимптотой ($y=0$). График проходит через точки $(1; 1)$ и $(-1; 1)$.
Чтение графика (свойства функции):
1. Область определения: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
2. Область значений: $E(y) = (0; +\infty)$.
3. Четность: функция четная.
4. Нули функции: отсутствуют.
5. Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ на всей области определения.
6. Промежутки монотонности: функция возрастает на промежутке $(-\infty; 0)$ и убывает на промежутке $(0; +\infty)$.
7. Точки экстремума: отсутствуют.
Ответ: График функции состоит из двух ветвей в I и II четвертях, симметричных относительно оси Oy и имеющих асимптоты $x=0$ и $y=0$. Свойства функции перечислены выше.

б) $y = x^{-3}$

Функция может быть записана как $y = \frac{1}{x^3}$. Это степенная функция с целым отрицательным нечетным показателем.
Построение графика: График функции состоит из двух ветвей. Так как функция нечетная ($y(-x) = (-x)^{-3} = -x^{-3} = -y(x)$), ее график симметричен относительно начала координат. Если $x > 0$, то $y > 0$ (I четверть). Если $x < 0$, то $y < 0$ (III четверть). При $x \to 0$, $|y| \to \infty$, поэтому ось Oy является вертикальной асимптотой ($x=0$). При $x \to \pm\infty$, $y \to 0$, поэтому ось Ox является горизонтальной асимптотой ($y=0$). График проходит через точки $(1; 1)$ и $(-1; -1)$.
Чтение графика (свойства функции):
1. Область определения: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
2. Область значений: $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
3. Четность: функция нечетная.
4. Нули функции: отсутствуют.
5. Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \in (0; +\infty)$, $y < 0$ при $x \in (-\infty; 0)$.
6. Промежутки монотонности: функция убывает на каждом из промежутков $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.
7. Точки экстремума: отсутствуют.
Ответ: График функции состоит из двух ветвей в I и III четвертях, симметричных относительно начала координат и имеющих асимптоты $x=0$ и $y=0$. Свойства функции перечислены выше.

в) $y = x^{-8}$

Функция может быть записана как $y = \frac{1}{x^8}$. Это степенная функция с целым отрицательным четным показателем.
Построение графика: График этой функции похож на график функции $y = x^{-4}$. Он также состоит из двух ветвей в I и II четвертях, симметричных относительно оси Oy, с вертикальной асимптотой $x=0$ и горизонтальной асимптотой $y=0$. График проходит через точки $(1; 1)$ и $(-1; 1)$. Однако, по сравнению с $y=x^{-4}$, при $|x| < 1$ ветви графика $y=x^{-8}$ расположены выше (быстрее стремятся к бесконечности), а при $|x| > 1$ — ниже (быстрее стремятся к нулю).
Чтение графика (свойства функции):
1. Область определения: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
2. Область значений: $E(y) = (0; +\infty)$.
3. Четность: функция четная.
4. Нули функции: отсутствуют.
5. Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ на всей области определения.
6. Промежутки монотонности: функция возрастает на промежутке $(-\infty; 0)$ и убывает на промежутке $(0; +\infty)$.
7. Точки экстремума: отсутствуют.
Ответ: График функции состоит из двух ветвей в I и II четвертях, симметричных относительно оси Oy и имеющих асимптоты $x=0$ и $y=0$. Свойства функции перечислены выше.

г) $y = \frac{1}{x^5}$

Функция может быть записана как $y = x^{-5}$. Это степенная функция с целым отрицательным нечетным показателем.
Построение графика: График этой функции похож на график функции $y = x^{-3}$. Он также состоит из двух ветвей в I и III четвертях, симметричных относительно начала координат, с вертикальной асимптотой $x=0$ и горизонтальной асимптотой $y=0$. График проходит через точки $(1; 1)$ и $(-1; -1)$. Однако, по сравнению с $y=x^{-3}$, при $|x| < 1$ ветви графика $y=x^{-5}$ расположены дальше от оси Ox (быстрее стремятся к бесконечности), а при $|x| > 1$ — ближе к оси Ox (быстрее стремятся к нулю).
Чтение графика (свойства функции):
1. Область определения: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
2. Область значений: $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
3. Четность: функция нечетная.
4. Нули функции: отсутствуют.
5. Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \in (0; +\infty)$, $y < 0$ при $x \in (-\infty; 0)$.
6. Промежутки монотонности: функция убывает на каждом из промежутков $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.
7. Точки экстремума: отсутствуют.
Ответ: График функции состоит из двух ветвей в I и III четвертях, симметричных относительно начала координат и имеющих асимптоты $x=0$ и $y=0$. Свойства функции перечислены выше.