Номер 13.6, страница 81, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

13.6 Постройте график функции $y = x^{-2} - 1$. Найдите область значений функции. Составьте уравнения горизонтальной и вертикальной асимптот.

Постройте график функции $y = x^{-2} - 1$

Для построения графика функции $y = x^{-2} - 1$, которую можно переписать в виде $y = \frac{1}{x^2} - 1$, проанализируем ее свойства. График этой функции можно получить из графика базовой функции $y = \frac{1}{x^2}$ путем его сдвига на 1 единицу вниз вдоль оси ординат (оси Oy).

Основные характеристики функции:

1. Область определения: Знаменатель дроби $x^2$ не должен быть равен нулю, следовательно, $x \neq 0$. Область определения функции: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Четность: Проверим функцию на четность: $y(-x) = \frac{1}{(-x)^2} - 1 = \frac{1}{x^2} - 1 = y(x)$. Так как $y(-x) = y(x)$, функция является четной. Ее график симметричен относительно оси Oy.

3. Точки пересечения с осями координат: С осью Oy пересечения нет, так как $x=0$ не входит в область определения. Для нахождения точек пересечения с осью Ox (нулей функции) решим уравнение $y=0$: $\frac{1}{x^2} - 1 = 0 \Rightarrow \frac{1}{x^2} = 1 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$. Таким образом, точки пересечения с осью Ox: $(-1; 0)$ и $(1; 0)$.

4. Асимптоты и поведение функции: При $x \to 0$, значение $y \to +\infty$. Это указывает на наличие вертикальной асимптоты $x=0$. При $x \to \pm\infty$, значение $y \to -1$. Это указывает на наличие горизонтальной асимптоты $y=-1$.

Для более точного построения найдем значения функции в нескольких дополнительных точках: Если $x = \pm 2$, то $y = \frac{1}{2^2} - 1 = \frac{1}{4} - 1 = -0.75$. Если $x = \pm 0.5$, то $y = \frac{1}{(0.5)^2} - 1 = \frac{1}{0.25} - 1 = 4 - 1 = 3$.

Итак, для построения графика необходимо: нарисовать оси координат; провести пунктиром асимптоты $x=0$ (ось Oy) и $y=-1$; отметить точки $(-1; 0)$, $(1; 0)$, $(-2; -0.75)$, $(2; -0.75)$, $(-0.5; 3)$, $(0.5; 3)$; соединить точки двумя плавными кривыми, симметричными относительно оси Oy, которые приближаются к асимптотам.

Ответ: График функции $y = x^{-2} - 1$ — это кривая, состоящая из двух ветвей, симметричных относительно оси Oy. Ветви расположены выше прямой $y=-1$, приближаясь к ней при $x \to \pm\infty$ (горизонтальная асимптота), и стремятся к $+\infty$ при $x \to 0$ (вертикальная асимптота $x=0$). График пересекает ось Ox в точках $(-1; 0)$ и $(1; 0)$.

Найдите область значений функции

Рассмотрим функцию $y = \frac{1}{x^2} - 1$. Поскольку $x$ в области определения не равен нулю ($x \neq 0$), выражение $x^2$ всегда строго больше нуля: $x^2 > 0$. Следовательно, обратная величина $\frac{1}{x^2}$ также будет всегда строго положительной: $\frac{1}{x^2} > 0$. Вычитая 1 из обеих частей этого неравенства, получаем: $\frac{1}{x^2} - 1 > 0 - 1$, то есть $y > -1$. При этом, когда $x$ стремится к нулю, значение $\frac{1}{x^2}$ может быть сколь угодно большим, а значит и $y$ может принимать сколь угодно большие положительные значения. Таким образом, область значений функции — это все числа, строго большие -1.

Ответ: Область значений функции $E(y) = (-1; +\infty)$.

Составьте уравнения горизонтальной и вертикальной асимптот

Асимптоты — это прямые, к которым неограниченно приближается график функции.

Вертикальная асимптота: Вертикальная асимптота может существовать в точках разрыва функции. Для функции $y = \frac{1}{x^2} - 1$ точка разрыва — $x=0$. Найдем предел функции при $x$, стремящемся к этой точке: $\lim_{x \to 0} \left(\frac{1}{x^2} - 1\right) = +\infty$. Так как предел равен бесконечности, прямая $x=0$ (ось Oy) является вертикальной асимптотой.

Горизонтальная асимптота: Горизонтальная асимптота описывает поведение функции при $x \to \pm\infty$. Найдем предел функции на бесконечности: $\lim_{x \to \pm\infty} \left(\frac{1}{x^2} - 1\right) = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{1}{x^2} - \lim_{x \to \pm\infty} 1 = 0 - 1 = -1$. Так как предел существует и конечен, прямая $y=-1$ является горизонтальной асимптотой.

Ответ: Уравнение вертикальной асимптоты: $x=0$. Уравнение горизонтальной асимптоты: $y=-1$.